Correlaciones alcanzables para variables aleatorias exponenciales

¿Cuál es el rango de correlaciones alcanzables para el par de variables aleatorias distribuidas exponencialmente y , donde son los parámetros de velocidad?$X_1 \sim {\rm Exp}(\lambda_1)$$X_2 \sim {\rm Exp}(\lambda_2)$$\lambda_1, \lambda_2 > 0$

Sea (resp. \ Rho _ {\ max} ) denotar el límite inferior (resp. Superior) de la correlación alcanzable entre X_1 y X_2 . Los límites \ rho _ {\ min} y \ rho _ {\ max} se alcanzan cuando X_1 y X_2 son respectivamente contramonotónicos y comonotónicos (ver aquí ).$\rho_{\min}$$\rho_{\max}$$X_1$$X_2$$\rho_{\min}$$\rho_{\max}$$X_1$$X_2$

Límite inferior
Para determinar el límite inferior construimos un par de variables exponenciales contramonotónicas y calculamos su correlación.$\rho_{\min}$

La condición necesaria y suficiente mencionada aquí y la transformación integral de probabilidad proporcionan una manera conveniente de construir las variables aleatorias y modo que sean contramonotónicas. Recuerde que la función de distribución exponencial es , por lo que la función cuantil es .$X_1$$X_2$
$F(x) = 1 - \exp(-\lambda x)$$F^{-1}(q) = -\lambda^{-1}\log (1-q)$

Sea una variable aleatoria distribuida uniformemente, entonces también se distribuye uniformemente y las variables aleatorias tienen la distribución exponencial con tasa y respectivamente. Además, son contramonotónicos ya que y , y las funciones y aumentan y disminuyen respectivamente.$U\sim U(0, 1)$$1-U$

$$X_1 = -\lambda_1^{-1}\log (1-U), \quad \text{and } X_2 = -\lambda_2^{-1}\log (U)$$ $\lambda_1$$\lambda_2$$X_1 = h_1(U)$$X_2 = h_2(U)$$h_1(x)=-\lambda_1^{-1}\log (1-x)$$h_2(x)=-\lambda_1^{-1}\log (x)$

Ahora, calculemos la correlación de y . Por las propiedades de la distribución exponencial tenemos , , , y . Además, tenemos donde$X_1$$X_2$${\rm E}(X_1) = \lambda_1^{-1}$${\rm E}(X_2) = \lambda_2^{-1}$${\rm var}(X_1) = \lambda_1^{-2}$${\rm var}(X_2) = \lambda_2^{-2}$

$$\begin{align} {\rm E}(X_1 X_2) &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} {\rm E}\{\log (1-U) \log (U)\}\\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \log (1-u) \log (u) f_U(u) {\rm d}u \\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \log (1-u) \log (u) {\rm d}u \\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \left (2 - \frac{\pi^2}{6} \right ), \end{align}$$ $f_U(u) \equiv 1$es la función de densidad de la distribución uniforme estándar. Para la última igualdad, confié en WolframAlpha .

Por lo tanto, Tenga en cuenta que el límite inferior no depende de las tasas y , y que la correlación nunca llega a , incluso cuando ambos márgenes son iguales (es decir, cuando ).

$$\begin{align} \rho_{\min} &= {\rm corr}(X_1, X_2)\\ &= \frac{ \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} (2 - \pi^2/6 ) - \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1}}{ \sqrt{\lambda_1^{-2} \lambda_2^{-2}} } \\ &= 1 - \pi^2/6 \approx −0.645. \end{align}$$ $\lambda_1$$\lambda_2$$-1$$\lambda_1 = \lambda_2$

Límite superior
Para determinar el límite superior seguimos un enfoque similar con un par de variables exponenciales comonotónicas. Ahora, deje que y donde y , que son ambas funciones crecientes. Entonces, estas variables aleatorias son comonotónicas y ambas se distribuyen exponencialmente con tasas y .$\rho_{\max}$$X_1 = g_1(U)$$X_2 = g_2(U)$$g_1(x)=-\lambda_1^{-1}\log (1-x)$$g_2(x)=-\lambda_2^{-1}\log (1-x)$$\lambda_1$$\lambda_2$

Tenemos y por lo tanto, De manera similar al límite inferior, el límite superior no depende de las tasas y .

$$\begin{align} {\rm E}(X_1 X_2) &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} {\rm E}\{\log (1-U) \log (1-U)\}\\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \left\{\log (1-u) \right\}^2 {\rm d}u \\ &= 2 \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} , \end{align}$$ $$\begin{align} \rho_{\max} &= {\rm corr}(X_1, X_2)\\ &= \frac{ 2\lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} - \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1}}{ \sqrt{\lambda_1^{-2} \lambda_2^{-2}} } \\ &= 1 . \end{align}$$ $\lambda_1$$\lambda_2$