Correlaciones alcanzables para variables aleatorias exponenciales


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¿Cuál es el rango de correlaciones alcanzables para el par de variables aleatorias distribuidas exponencialmente y , donde son los parámetros de velocidad?X1Exp(λ1)X2Exp(λ2)λ1,λ2>0


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Respuestas:


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Sea (resp. \ Rho _ {\ max} ) denotar el límite inferior (resp. Superior) de la correlación alcanzable entre X_1 y X_2 . Los límites \ rho _ {\ min} y \ rho _ {\ max} se alcanzan cuando X_1 y X_2 son respectivamente contramonotónicos y comonotónicos (ver aquí ).ρminρmaxX1X2ρminρmaxX1X2

Límite inferior
Para determinar el límite inferior construimos un par de variables exponenciales contramonotónicas y calculamos su correlación.ρmin

La condición necesaria y suficiente mencionada aquí y la transformación integral de probabilidad proporcionan una manera conveniente de construir las variables aleatorias y modo que sean contramonotónicas. Recuerde que la función de distribución exponencial es , por lo que la función cuantil es .X1X2
F(x)=1exp(λx)F1(q)=λ1log(1q)

Sea una variable aleatoria distribuida uniformemente, entonces también se distribuye uniformemente y las variables aleatorias tienen la distribución exponencial con tasa y respectivamente. Además, son contramonotónicos ya que y , y las funciones y aumentan y disminuyen respectivamente.UU(0,1)1U

X1=λ11log(1U),and X2=λ21log(U)
λ1λ2X1=h1(U)X2=h2(U)h1(x)=λ11log(1x)h2(x)=λ11log(x)

Ahora, calculemos la correlación de y . Por las propiedades de la distribución exponencial tenemos , , , y . Además, tenemos dondeX1X2E(X1)=λ11E(X2)=λ21var(X1)=λ12var(X2)=λ22

E(X1X2)=λ11λ21E{log(1U)log(U)}=λ11λ2101log(1u)log(u)fU(u)du=λ11λ2101log(1u)log(u)du=λ11λ21(2π26),
fU(u)1es la función de densidad de la distribución uniforme estándar. Para la última igualdad, confié en WolframAlpha .

Por lo tanto, Tenga en cuenta que el límite inferior no depende de las tasas y , y que la correlación nunca llega a , incluso cuando ambos márgenes son iguales (es decir, cuando ).

ρmin=corr(X1,X2)=λ11λ21(2π2/6)λ11λ21λ12λ22=1π2/60.645.
λ1λ21λ1=λ2

Límite superior
Para determinar el límite superior seguimos un enfoque similar con un par de variables exponenciales comonotónicas. Ahora, deje que y donde y , que son ambas funciones crecientes. Entonces, estas variables aleatorias son comonotónicas y ambas se distribuyen exponencialmente con tasas y .ρmaxX1=g1(U)X2=g2(U)g1(x)=λ11log(1x)g2(x)=λ21log(1x)λ1λ2

Tenemos y por lo tanto, De manera similar al límite inferior, el límite superior no depende de las tasas y .

E(X1X2)=λ11λ21E{log(1U)log(1U)}=λ11λ2101{log(1u)}2du=2λ11λ21,
ρmax=corr(X1,X2)=2λ11λ21λ11λ21λ12λ22=1.
λ1λ2

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Gracias por tus cálculos. Solo quería agregar que podría haberse encontrado de inmediato, notando que y son del mismo tipo: tiene una distribución , es decir La misma distribución de . ρmax=1X1X2λ1λ2X1Exp(λ2)X2
user48713

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(+1) Tenga en cuenta que el límite superior es obvio al observar que dos variables exponenciales difieren solo por un factor de escala. Es igualmente obvio que el límite inferior no puede alcanzar cuando (de lo contrario, la asimetría sería cero). 1λ1λ2
whuber
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