Respuestas:
Sea (resp. \ Rho _ {\ max} ) denotar el límite inferior (resp. Superior) de la correlación alcanzable entre X_1 y X_2 . Los límites \ rho _ {\ min} y \ rho _ {\ max} se alcanzan cuando X_1 y X_2 son respectivamente contramonotónicos y comonotónicos (ver aquí ).
Límite inferior
Para determinar el límite inferior construimos un par de variables exponenciales contramonotónicas y calculamos su correlación.
La condición necesaria y suficiente mencionada aquí y la transformación integral de probabilidad proporcionan una manera conveniente de construir las variables aleatorias y modo que sean contramonotónicas.
Recuerde que la función de distribución exponencial es , por lo que la función cuantil es .
Sea una variable aleatoria distribuida uniformemente, entonces también se distribuye uniformemente y las variables aleatorias tienen la distribución exponencial con tasa y respectivamente. Además, son contramonotónicos ya que y , y las funciones y aumentan y disminuyen respectivamente.
Ahora, calculemos la correlación de y . Por las propiedades de la distribución exponencial tenemos , , , y . Además, tenemos donde
Por lo tanto, Tenga en cuenta que el límite inferior no depende de las tasas y , y que la correlación nunca llega a , incluso cuando ambos márgenes son iguales (es decir, cuando ).
Límite superior
Para determinar el límite superior seguimos un enfoque similar con un par de variables exponenciales comonotónicas. Ahora, deje que y donde
y , que son ambas funciones crecientes. Entonces, estas variables aleatorias son comonotónicas y ambas se distribuyen exponencialmente con tasas y .
Tenemos y por lo tanto, De manera similar al límite inferior, el límite superior no depende de las tasas y .