Prueba de independencia, cuando me falta un contenedor de una contingencia de 2x2

Estoy buscando ayuda para diseñar una prueba de hipótesis para la siguiente situación.

1. Tengo una fuente radiactiva que escupe una partícula de vez en cuando.

2. Además, tengo dos detectores de partículas: un detector de partículas rojas y un detector de partículas verdes. Cada vez que el detector de partículas rojas detecta una partícula, parpadea una luz roja; supongamos que denota el evento de que el detector rojo detectó la partícula y el evento complementario de que el detector rojo no detectó la partícula. Cada vez que el detector de partículas verdes detecta una partícula, parpadea una luz verde; dejemos que sea ​​el caso de que el detector verde detecte la partícula y que no lo haga. Por lo tanto, cada partícula emitida cae en una de cuatro categorías:r G $R$$r$$G$$g$

   • detectado por ambos detectores ( ),$RG$
   • detectado por el detector rojo pero no por el detector verde ( ),$Rg$
   • detectado por el detector verde pero no por el detector rojo ( ), o$rG$
   • no detectado por ninguno de los detectores ( ).$rg$

3. Cada vez que se emite una partícula, el detector rojo tiene alguna probabilidad de detectar la partícula, y el detector verde tiene cierta probabilidad de detectar la partícula. (Nunca activarán una detección falsa cuando no haya partículas presentes). Sé que cada partícula se maneja de manera idéntica e independiente de todas las demás partículas, pero no sé si los dos detectores son independientes entre sí. Es posible que sean independientes (es decir, ), o que estén correlacionados (es decir, \ Pr [RG] \ ne \ Pr [R] \ Pr [ G] ); No sé cuál es el caso, a priori.$\Pr[RG] = \Pr[R] \Pr[G]$$\Pr[RG] \ne \Pr[R] \Pr[G]$

4. Mantengo un recuento del número de detecciones de (es decir, el número de veces que ambos detectores detectaron algo), el número de detecciones de (es decir, el número de veces que el detector rojo detectó algo, pero no el verde), y El número de detecciones de . Desafortunadamente, no tengo forma de medir el número de situaciones , ya que esas partículas no son detectadas por ninguno de los detectores. Al final del experimento, tengo tres enteros no negativos, que representan estos recuentos.$RG$$Rg$$rG$$rg$

Quiero probar la hipótesis que los dos detectores son independientes, es decir, que evento es independiente de evento . ¿Alguien puede ayudar a sugerir una forma de calcular el valor de esta hipótesis, dados 3 números de tal experimento?$H$$R$$G$$p$

Estaría perfectamente satisfecho con un algoritmo / procedimiento informático para calcular el valor . No necesito una fórmula simple; algo que podría ser calculado por una computadora sería suficiente.$p$

Aquí hay otra forma de ver esto. Podríamos formar una tabla de contingencia 2x2, como esta:

     G | sol
  ---------
R | 17 22
r | 12?

grabando que vimos 17 eventos , 22 eventos , y así sucesivamente. Desafortunadamente, la celda inferior derecha está vacía, ya que no sabemos cuántas partículas se emitieron. Si tuviéramos recuentos para las cuatro células, presumiblemente podríamos usar la prueba exacta de Fisher, pero no lo hacemos. Además, no se nos da o (supongo que son parámetros molestos) o el número total de partículas emitidas.$RG$$Rg$$rg$$\Pr[R]$$\Pr[G]$

¿Alguna sugerencia?

Si el recuento faltante fuera cercano a 22 * ​​12/17, la tabla parecería independiente. Esto es consistente con sus observaciones. Si el recuento faltante está lejos de este valor, la tabla exhibiría una fuerte falta de dependencia. Esto también es consistente con sus observaciones. Evidentemente, sus datos no pueden discriminar los dos casos: la independencia o la falta de ellos no son identificables . Por lo tanto, su única esperanza es adoptar suposiciones adicionales, como un previo para el recuento faltante (equivalentemente, para el número total de partículas emitidas).