Supongamos que especificamos un modelo AR (1) simple, con todas las propiedades habituales,
yt= βyt - 1+ ut
Denote la covarianza teórica del término de error como
γj≡ E( uttut - j)
Si pudiéramos observar el término de error, entonces la muestra de autocorrelación del término de error se define como
ρ~j≡ γ~jγ~0 0
dónde
γ~j≡1n∑t=j+1nutut−j,j=0,1,2...
Pero en la práctica, no observamos el término de error. Por lo tanto, la muestra de autocorrelación relacionada con el término de error se estimará utilizando los residuos de la estimación, como
γ^j≡1n∑t=j+1nu^tu^t−j,j=0,1,2...
La estadística Q de Box-Pierce (la Ljung-Box Q es solo una versión asintóticamente neutra a escala)
QBP=n∑j=1pρ^2j=∑j=1p[n−−√ρ^j]2→d???χ2(p)
Nuestro problema es exactamente si se puede decir que tiene asintóticamente una distribución de chi-cuadrado (bajo el nulo de no autocorellación en el término de error) en este modelo.
Para que esto suceda, todos y cada uno de √QBP
debe ser asintóticamente estándar normal. Una forma de verificar esto es examinar si √n−−√ρ^j tiene la misma distribución asintótica como √n−−√ρ^ (que se construye utilizando los errores verdaderos, y también tiene el comportamiento asintótico deseado bajo nulo).n−−√ρ~
Tenemos eso
tu^t= yt- β^yt - 1= ut- ( β^- β) yt - 1
donde β es un estimador consistente. Entoncesβ^
γ^j≡1n∑t=j+1n[ut−(β^−β)yt−1][ut−j−(β^−β)yt−j−1]
=γ~j−1n∑t=j+1n(β^−β)[utyt−j−1+ut−jyt−1]+1n∑t=j+1n(β^−β)2yt−1yt−j−1
Se supone que la muestra es estacionaria y ergódica, y se supone que existen momentos hasta el orden deseado. Puesto que el estimador de β es consistente, esto es suficiente para las dos sumas para ir a cero. Entonces concluimosβ^
γ^j→pγ~j
Esto implica que
ρ^j→pρ~j→pρj
Pero esto no garantiza automáticamente que converge a √n−−√ρ^jn−−√ρ~j(en distribución) (piense que el teorema de mapeo continuo no se aplica aquí porque la transformación aplicada a las variables aleatorias depende de). Para que esto suceda, necesitamosn
n−−√γ^j→dn−−√γ~j
(el denominador -tilde o hat- convergerá con la varianza del término de error en ambos casos, por lo que es neutral para nuestro problema).γ0
Tenemos
n−−√γ^j=n−−√γ~j−1n∑t=j+1nn−−√(β^−β)[utyt−j−1+ut−jyt−1]+1n∑t=j+1nn−−√(β^−β)2yt−1yt−j−1
Entonces la pregunta es: ¿estas dos sumas, multiplicadas ahora por , ir a cero en probabilidad para que nos quedemos con √n−−√asintóticamente?n−−√γ^j=n−−√γ~j
Para la segunda suma tenemos
1n∑t=j+1nn−−√(β^−β)2yt−1yt−j−1=1n∑t=j+1n[n−−√(β^−β)][(β^−β)yt−1yt−j−1]
Since [n−−√(β^−β)] converges to a random variable, and β^ is consistent, this will go to zero.
For the first sum, here too we have that [n−−√(β^−β)] converges to a random variable, and so we have that
1n∑t=j+1n[utyt−j−1+ut−jyt−1]→pE[utyt−j−1]+E[ut−jyt−1]
The first expected value, E[utyt−j−1] is zero by the assumptions of the standard AR(1) model. But the second expected value is not, since the dependent variable depends on past errors.
So n−−√ρ^j won't have the same asymptotic distribution as n−−√ρ~j. But the asymptotic distribution of the latter is standard Normal, which is the one leading to a chi-squared distribution when squaring the r.v.
Therefore we conclude, that in a pure time series model, the Box-Pierce Q and the Ljung-Box Q statistic cannot be said to have an asymptotic chi-square distribution, so the test loses its asymptotic justification.
This happens because the right-hand side variable (here the lag of the dependent variable) by design is not strictly exogenous to the error term, and we have found that such strict exogeneity is required for the BP/LB Q-statistic to have the postulated asymptotic distribution.
Here the right-hand-side variable is only "predetermined", and the Breusch-Pagan test is then valid. (for the full set of conditions required for an asymptotically valid test, see Hayashi 2000, p. 146-149).