Intervalo de confianza para el producto de dos parámetros.

Supongamos que tenemos dos parámetros, y . También tenemos dos estimadores de máxima verosimilitud y y dos intervalos de confianza para estos parámetros. ¿Hay alguna manera de construir un intervalo de confianza para ? $p_1$ $p_2$ $\hat{p_1}$ $\hat{p_2}$ $p_1p_2$

confidence-interval

— huésped
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Puede usar el método Delta para calcular el error estándar de . El método delta establece que una aproximación de la varianza de una función viene dada por: La aproximación de la expectativa de por otro lado viene dada por: Entonces la expectativa es simplemente la función. Su función es: . La expectativa de sería simplemente: $\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$ $g(t)$

V a r (g (t)) \approx \sum_{i = 1}^{k} g_{i}^{'} (θ)^{2} V a r (t_{i}) + 2 \sum_{i > j} g_{i}^{'} (θ) g_{j}^{'} (θ) C o v (t_{i}, t_{j})

$\mathrm{Var}(g(t))\approx \sum_{i=1}^{k}g'_{i}(\theta)^{2}\mathrm{Var}(t_{i})+2\sum_{i>j}g'_{i}(\theta)g'_{j}(\theta)\mathrm{Cov}(t_{i},t_{j})$

g (t)

$g(t)$

E (g (t)) \approx g (θ)

$\mathrm{\mathbf{E}}(g(t))\approx g(\theta)$

g (t)

$g(t)$

g (p_{1}, p_{2}) = p_{1} p_{2}

$g(p_{1}, p_{2})=p_{1}p_{2}$

g (p_{1}, p_{2}) = p_{1} p_{2}

$g(p_{1}, p_{2})=p_{1}p_{2}$

p_{1} p_{2}

$p_{1}p_{2}$

. Para la varianza, necesitamos las derivadas parciales de :

g (p_{1}, p_{2})

$g(p_{1}, p_{2})$

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial p_{1}} g (p_{1} p_{2}) & = p_{2} \\ \frac{\partial}{\partial p_{2}} g (p_{1} p_{2}) & = p_{1} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial}{\partial p_{1}}g(p_{1}p_{2}) & = p_{2} \\ \frac{\partial}{\partial p_{2}}g(p_{1}p_{2}) &= p_{1} \\ \end{align}$

Usando la función para la varianza anterior, obtenemos:

V a r (\hat{p_{1}} \hat{p_{2}}) = {\hat{p_{2}}}^{2} V a r (\hat{p_{1}}) + {\hat{p_{1}}}^{2} V a r (\hat{p_{2}}) + 2 \cdot \hat{p_{1}} \hat{p_{2}} C o v (\hat{p_{1}}, \hat{p_{2}})

$\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}\hat{p_{2}})=\hat{p_{2}}^{2}\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}) + \hat{p_{1}}^{2}\mathrm{Var}(\hat{p_{2}})+2\cdot \hat{p_{1}}\hat{p_{2}}\mathrm{Cov}(\hat{p_{1}},\hat{p_{2}})$ El error estándar sería simplemente la raíz cuadrada de la expresión anterior. Una vez que tenga el error estándar, es sencillo calcular un intervalo de confianza del 95% para :

\hat{p_{1}} \hat{p_{2}}

$\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$

\hat{p_{1}} \hat{p_{2}} \pm 1.96 \cdot \hat{S E} (\hat{p_{1}} \hat{p_{2}})

$\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}\pm 1.96\cdot \widehat{\mathrm{SE}}(\hat{p_{1}}\hat{p_{2}})$

Para calcular el error estándar de , necesita la variación de y que generalmente puede obtener por la matriz de varianza-covarianza que sería una matriz de 2x2 en su caso porque tiene dos estimaciones. Los elementos diagonales en la matriz de varianza-covarianza son las varianzas de y mientras que los elementos fuera de la diagonal son la covarianza de y (la matriz es simétrica). Como @gung menciona en los comentarios, la mayoría de los softwares estadísticos pueden extraer la matriz de varianza-covarianza. A veces, los algoritmos de estimación proporcionan la $\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\Sigma$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ Matriz de arpillera (no voy a entrar en detalles sobre eso aquí), y la matriz de varianza-covarianza se puede estimar por el inverso de la arpillera negativa (¡pero solo si maximiza la probabilidad de registro !; vea esta publicación ). Nuevamente, consulte la documentación de su software estadístico y / o la web sobre cómo extraer el Hessian y sobre cómo calcular el inverso de una matriz.

Alternativamente, puede obtener las variaciones de y de los intervalos de confianza de la siguiente manera (esto es válido para un IC del 95%): . Para un -CI, el error estándar estimado es: , donde es el cuantil de la distribución normal estándar (para , ). Entonces, $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\mathrm{SE}(\hat{p_{1}})=(\text{upper limit} - \text{lower limit})/3.92$ $100(1-\alpha)\%$ $\mathrm{SE}(\hat{p_{1}})=(\text{upper limit} - \text{lower limit})/(2\cdot z_{1-\alpha/2})$ $z_{1-\alpha/2}$ $(1-\alpha/2)$ $\alpha=0.05$ $z_{0.975}\approx 1.96$ $\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}) = \mathrm{SE}(\hat{p_{1}})^{2}$ . Lo mismo es cierto para la varianza de . También necesitamos la covarianza de y (ver párrafo anterior). Si y son independientes, la covarianza es cero y podemos descartar el término. $\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$

Este documento puede proporcionar información adicional.

— COOLSerdash
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+1. Las variaciones de los parámetros y su covarianza se pueden encontrar examinando la matriz de varianza-covarianza de , que la mayoría de los programas estadísticos pueden proporcionar. Por ejemplo, en R, es ? Vcov ; & en SAS, se agrega como una opción a la declaración del modelo en PROC REG .

β

$\boldsymbol\beta$ covb

— gung - Restablece a Monica

@gung En un punto de pedantería, podría valer la pena señalar (porque sé que confunde a algunas personas) que es realmente la matriz de varianza-covarianza de lugar de (y de hecho ni siquiera es realmente eso , porque la desviación estándar debe estimarse a partir de la muestra, por lo que es realmente la matriz de varianza-covarianza estimada ...)

\hat{β}

$\hat \beta$

β

$\beta$

— Silverfish

@Silverfish, debidamente castigado. La próxima vez diré "la matriz de varianza-covarianza estimada de ".

\hat{β}

$\boldsymbol{\hat\beta}$

— gung - Restablece a Monica

¡Podría intentar construir una función de probabilidad de perfil! y construir el intervalo de confianza a partir de eso.

— kjetil b halvorsen

¿No es ya que es un parámetro?

v a r (p_{1}) = 0

$var(p_1)=0$

— usuario0

Encontré una ecuación diferente para el cálculo de la varianza del producto.

Si x e y se distribuyen independientemente, la varianza del producto es relativamente sencilla: V (x * y) = V (y) * E (x) ^ 2 + V (x) * E (y) ^ 2 + V ( x) * V (y) Estos resultados también se generalizan a casos que involucran tres o más variables (Goodman 1960). Fuente: Pesticidas de regulación (1980), apéndice F

Coolserdash: falta el último componente V (x) * V (y) en su ecuación. ¿Está mal el libro de referencia (Pesticidas de regulación)?

Además, ambas ecuaciones pueden no ser perfectas. " ... mostramos que la distribución del producto de tres variables normales independientes no es normal ". ( fuente ) Esperaría algún sesgo positivo incluso en el producto de dos variables normalmente distribuidas.

— Marek Čierny
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La longitud de CI / 2 / 1.96 = se, es decir, el error estándar de A o B
se ^ 2 = var, es decir, la varianza de la estimación A o B
Utilice el A o B estimado como el medio de A o B, es decir, E (A) o E (B)
Siga esta página http://falkenblog.blogspot.se/2008/07/formula-for-varxy.html para obtener var (A * B), es decir, var (C)
La raíz cuadrada de var (C) es el se de C
(C - 1.96 * se (C), C + 1.96 * se (C)) es el IC del 95% de C

Tenga en cuenta que si sus A y B están correlacionados, también debe considerar su covarianza.

— Café helado
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