Encontrar la varianza del estimador para la máxima probabilidad de la distribución de Poisson

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Si son distribuciones iid Poisson con el parámetro he calculado que la estimación de probabilidad máxima es para datos . Por lo tanto, podemos definir el estimador correspondiente Mi pregunta es ¿cómo resolvería la varianza de este estimador? $K_1, \dots, K_n$ $\beta$

\hat{β} (k_{1}, \dots, k_{n}) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} k_{i}

$\hat\beta (k_1, \dots, k_n) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n k_i$

k_{1}, \dots, k_{n}

$k_1, \dots, k_n$

T = \frac{1}{norte} \sum_{yo = 1}^{norte} K_{yo} .

$T = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n K_i .$

En particular, como cada $K_i$ sigue una distribución de Poisson con parámetro $\beta$ , sé, por las propiedades de Poisson, que la distribución $\sum_{i=1}^n K_i$ seguirá una distribución de Poisson con parámetro $n \beta$ , pero qué Cuál es la distribución de $T$ ?

variance maximum-likelihood poisson-distribution

— usuario53076
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No necesita la distribución de

T

$T$ para calcular su varianza, solo las propiedades básicas de las varianzas.

— Glen_b -Reinstate a Monica el

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$T$ se distribuye ... como una variable de Poisson escalada por $n$ . Por lo tanto, la varianza de $T$ es $1/n^2 \times n\beta$ .

— F. Tusell
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Recuerde que siempre. Pero, si las son independientes, ¿cuál es el valor de ? Eso es todo lo que necesitas para responder la pregunta.

V una r (\sum_{yo = 1}^{norte} {una}_{yo} X_{yo}) = \sum_{yo = 1}^{norte} {una}_{yo}^{2} V una r (X_{yo}) + 2 \sum_{1 \leq yo < j \leq norte} {una}_{yo} {una}_{j} C o v (X_{yo} X_{j}),

$\mathbb{Var}\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i\right) = \sum_{i=1}^n a_i^2\,\mathbb{Var}(X_i) + 2 \sum_{1\leq i<j\leq n} a_i\,a_j\,\mathbb{Cov}(X_i X_j) \, ,$

X_{i}

$X_i$

C o v (X_{i} X_{j})

$\mathbb{Cov}(X_i X_j)$

— zen
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