La respuesta es sí, los coeficientes de regresión lineal son las correlaciones de los predictores con la respuesta, pero solo si usa el sistema de coordenadas correcto .
Para ver lo que quiero decir, recordar que si y Y están centrados y estandarizado, entonces la correlación entre cada X i y Y es sólo el producto escalar x t i y . Además, la solución de mínimos cuadrados para la regresión lineal esX1, x2, ... , xnorteyXyoyXtyoy
β= ( XtX)- 1Xty
Si sucede que (la matriz de identidad), entoncesXtX= Yo
β= Xty
y recuperamos el vector de correlación. A menudo es atractivo reformular un problema de regresión en términos de predictores que satisfacen ˜ X t ˜ X = I al encontrar combinaciones lineales apropiadas de los predictores originales que hacen que esta relación sea verdadera (o equivalente, un cambio lineal de coordenadas); Estos nuevos predictores se denominan componentes principales.X~yoX~tX~= Yo
Entonces, en general, la respuesta a su pregunta es sí, pero solo cuando los predictores no están correlacionados . De lo contrario, la expresión
XtXβ= Xty
muestra que las betas deben mezclarse con las correlaciones entre los predictores mismos para recuperar las correlaciones predictor-respuesta.
Como nota al margen, esto también explica por qué el resultado siempre es cierto para una regresión lineal variable. Una vez que el vector predictor está estandarizado, entonces:X
Xt0 0x = ∑yoXyo= 0
X0 0XXtX= Yo