-tests vs -tests?

Estoy tratando de averiguar exactamente cuál es la diferencia entre las pruebas y las pruebas .$t$$z$

Por lo que puedo decir, para ambas clases de pruebas uno usa la misma estadística de prueba, algo de la forma

donde es una estadística de muestra, es una constante de referencia (ubicación) (que depende de los detalles de la prueba) y es el estándar error de .$\hat{b}$$C$$\widehat{\operatorname{se}}(\hat{b})$$\hat{b}$

La única diferencia, entonces, entre estas dos clases de pruebas es que en el caso de las pruebas , el estadístico de prueba anterior sigue una distribución (para algunos grados de libertad determinados por muestra ), mientras que en el caso de -tests, el mismo estadístico de prueba sigue una distribución normal estándar . (Esto a su vez sugiere que la elección de una prueba o una prueba se rige por si la muestra es o no lo suficientemente grande).$t$$t$$d$$z$$\mathcal{N}(0, 1)$$z$$t$

¿Es esto correcto?

Los nombres " -test" y " -test" se usan típicamente para referirse al caso especial cuando es normal , y . Sin embargo, también puede construir pruebas de " tipo test " en otras configuraciones ( bootstrap viene a la mente), utilizando el mismo tipo de razonamiento.$t$$z$$X$$\mbox{N}(\mu,\sigma^2)$$\hat{b}=\bar{x}$$C=\mu_{0}$$t$

De cualquier manera, la diferencia está en la parte :$\mbox{s.e.}(\hat{b})$

• En una prueba , se supone que la desviación estándar de se conoce sin error . En el caso especial mencionado anteriormente, esto significa que .$z$$\hat{b}$$\mbox{s.e.}(\bar{x})=\sigma/\sqrt{n}$
• En una prueba , se estima utilizando los datos . En el caso especial mencionado anteriormente, esto significa que , donde es un estimador de .$t$$\mbox{s.e.}(\bar{x})=\hat{\sigma}/\sqrt{n}$$\hat{\sigma}=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}$$\sigma$

La elección entre una prueba y una prueba , por lo tanto, depende de si se conoce o no antes de recopilar los datos .$t$$z$$\sigma$

La razón por la que la distribución de las dos estadísticas difiere es que la estadística contiene más incógnitas. Esto hace que sea más variable, por lo que su distribución tiene colas más pesadas. A medida que crece el tamaño de la muestra , el estimador acerca mucho al verdadero , por lo que se conoce esencialmente . Entonces, cuando el tamaño de la muestra es grande, los cuantiles se pueden usar también para la prueba .$t$$n$$\hat{\sigma}$$\sigma$$\sigma$$\mbox{N}(0,1)$$t$