¿Por qué obtengo los mismos resultados para OLS y GLS en R?

Cuando ejecuto este código:

require(nlme)

a <- matrix(c(1,3,5,7,4,5,6,4,7,8,9))

b <- matrix(c(3,5,6,2,4,6,7,8,7,8,9))

res <- lm(a ~ b)

print(summary(res))

res_gls <- gls(a ~ b)

print(summary(res_gls))

Obtengo los mismos coeficientes y la misma significación estadística en los coeficientes:

Loading required package: nlme

Call:
lm(formula = a ~ b)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-2.7361 -1.1348 -0.2955  1.2463  3.8234 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)  
(Intercept)   2.0576     1.8732   1.098   0.3005  
b             0.5595     0.2986   1.874   0.0937 .
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Residual standard error: 2.088 on 9 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.2807, Adjusted R-squared: 0.2007 
F-statistic: 3.512 on 1 and 9 DF,  p-value: 0.09371 

Generalized least squares fit by REML
  Model: a ~ b 
  Data: NULL 
      AIC      BIC    logLik
  51.0801 51.67177 -22.54005

Coefficients:
                Value Std.Error  t-value p-value
(Intercept) 2.0576208 1.8731573 1.098477  0.3005
b           0.5594796 0.2985566 1.873948  0.0937

 Correlation: 
  (Intr)
b -0.942

Standardized residuals:
       Min         Q1        Med         Q3        Max 
-1.3104006 -0.5434780 -0.1415446  0.5968911  1.8311781 

Residual standard error: 2.087956 
Degrees of freedom: 11 total; 9 residual

¿Por qué está pasando esto? ¿En qué casos las estimaciones OLS son las mismas que las estimaciones GLS?

Obtuvo los mismos resultados porque no especificó una varianza especial o estructura de correlación en la glsfunción. Sin esas opciones, un GLS se comporta como un OLS. La ventaja de un modelo GLS sobre una regresión normal es la capacidad de especificar una estructura de correlación (opción correlation) o permitir que la varianza residual difiera (opción weights). Déjame mostrarte esto con un ejemplo.

library(nlme)

set.seed(1500)

x <- rnorm(10000,100,12) # generate x with arbitrary values

y1 <- 10 + 15*x + rnorm(10000,0,5) # the first half of the dataset

y2 <-  -2 - 5*x + rnorm(10000,0,15) # the 2nd half of the data set with 3 times larger residual SD (15 vs. 5)

y <- c(y1, y2)
x.new <- c(x, x)

dummy.var <- c(rep(0, length(y1)), rep(1, length(y2))) # dummy variable to distinguish the first half of the dataset (y1) from the second (y2)

# Calculate a normal regression model   

lm.mod <- lm(y~x.new*dummy.var)

summary(lm.mod)

Coefficients:
                 Estimate Std. Error   t value Pr(>|t|)    
(Intercept)      10.27215    0.94237    10.900   <2e-16 ***
x.new            14.99691    0.00935  1603.886   <2e-16 ***
dummy.var       -12.07076    1.33272    -9.057   <2e-16 ***
x.new:dummy.var -19.99891    0.01322 -1512.387   <2e-16 ***

# Calculate a GLS without any options

gls.mod.1 <- gls(y~x.new*dummy.var)

summary(gls.mod.1)

Coefficients:
                    Value Std.Error    t-value p-value
(Intercept)      10.27215 0.9423749    10.9003       0
x.new            14.99691 0.0093504  1603.8857       0
dummy.var       -12.07076 1.3327194    -9.0572       0
x.new:dummy.var -19.99891 0.0132234 -1512.3868       0

# GLS again, but allowing different residual variance for y1 and y2

gls.mod.2 <- gls(y~x.new*dummy.var, weights=varIdent(form=~1|dummy.var))

summary(gls.mod.2)

 Parameter estimates:
       0        1 
1.000000 2.962565 

Coefficients:
                    Value Std.Error   t-value p-value
(Intercept)      10.27215 0.4262268    24.100       0
x.new            14.99691 0.0042291  3546.144       0
dummy.var       -12.07076 1.3327202    -9.057       0
x.new:dummy.var -19.99891 0.0132234 -1512.386       0

# Perform a likelihood ratio test

anova(gls.mod.1, gls.mod.2)

          Model df      AIC      BIC    logLik   Test  L.Ratio p-value
gls.mod.1     1  5 153319.4 153358.9 -76654.69                        
gls.mod.2     2  6 143307.2 143354.6 -71647.61 1 vs 2 10014.15  <.0001

El primer modelo GLS ( gls.mod.1) y el modelo de regresión lineal normal ( lm.mod) producen exactamente los mismos resultados. El modelo GLS que permite diferentes desviaciones estándar residuales ( gls.mod.2) estima que la SD residual y2es aproximadamente 3 veces mayor que la SD residual, y1que es exactamente lo que especificamos cuando generamos los datos. Los coeficientes de regresión son prácticamente los mismos, pero los errores estándar han cambiado. La prueba de razón de probabilidad (y AIC) sugiere que el modelo GLS con las diferentes variaciones residuales ( gls.mod.2) se ajusta mejor a los datos que el modelo normal ( lm.modo gls.mod.1).

Estructuras de varianza y correlación en gls

Puede especificar varias estructuras de varianza en la glsfunción y la opción weights. Ver aquí para una lista. Para obtener una lista de las estructuras de correlación para la opción, correlationconsulte aquí .

y para que quede claro, en caso de correlación en serie de los residuos, puede usar la estimación de OLS, por ejemplo gls(..., cor=corAR1(0.6)), aquí el 0.6, así como el orden proviene de OLS, puede calcularlos usando la arfunción para los residuos de OLS