¿Se puede aplicar el lema de Neyman-Pearson al caso cuando la simple nula y la alternativa no pertenecen a la misma familia de distribuciones?

¿Puede aplicarse el lema de Neyman-Pearson al caso cuando una simple nula y una alternativa simple no pertenecen a la misma familia de distribuciones? Por su prueba, no veo por qué no puede.

Por ejemplo, cuando el nulo simple es una distribución normal y la alternativa simple es una distribución exponencial.
¿Es la prueba de razón de verosimilitud una buena manera de probar un nulo compuesto contra una alternativa compuesta cuando ambos pertenecen a diferentes familias de distribuciones?

¡Gracias y saludos!

hypothesis-testing mathematical-statistics

Ahora esa es una buena pregunta.

— Glen_b -Reinstale a Monica

Como dice en la pregunta, la prueba no hace suposiciones sobre la forma de las dos distribuciones. Confía en las matemáticas.

— Cian

@Cyan: ¿ La prueba de razón de verosimilitud es una buena manera para las alternativas compuestas nulas y compuestas que pertenecen a diferentes familias de distribuciones?

— StackExchange for All

Para aclarar mi comentario anterior: con frecuencia veo que la gente dice "no"; de hecho, parece incluso en los documentos : - "[Pruebas de relación de probabilidad] ... no puede usarse para hacer inferencias sobre la forma funcional de la distribución de los datos. " Sería bueno que ese tipo de afirmaciones no se dejaran sin respuesta tan a menudo.

— Glen_b: reinstala a Monica

Esto es un no-pregunta porque ningún dos distribuciones distintas

son parte de una familia de un solo parámetro continuo

F

$F$

G

$G$

{p F + (1 - p) G},

$\{pF + (1-p)G\},$

0 \leq p \leq 1

$0\le p \le 1$

— whuber

Respuestas:

Sí, Neyman Pearson Lemma puede aplicarse al caso cuando las alternativas simples nulas y simples no pertenecen a la misma familia de distribuciones.

Queremos construir una prueba más poderosa (MP) de contra $H_0:X\sim N(0,1)$ $H_1 : X\sim \text{Exp}(1)$ de su tamaño.

Para una particular , nuestra función crítica por el lema de Neyman Pearson es $k$

ϕ (X) = {\begin{cases} 1, & \frac{F_{1} (X)}{F_{0 0} (X)} > k \\ 0 0, & De otra manera \end{cases}

$\phi(x) =\begin{cases} 1,&\dfrac{f_1(x)}{f_0(x)}>k \\0, &\text{Otherwise} \end{cases}$

es una prueba de MP de contra de su tamaño. $H_0$ $H_1$

Aquí

r (x) = \frac{f_{1} (x)}{f_{0} (x)} = \frac{e^{- x}}{\frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2}} = \sqrt{2 π} e^{(\frac{x^{2}}{2} - x)}

$r(x)=\dfrac{f_1(x)}{f_0(x)}=\dfrac{e^{\displaystyle -x}}{\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{\displaystyle -x^2/2}}=\sqrt{2 \pi}\,\,e^{\displaystyle \left(\frac{x^2} 2-x\right)}$

Tenga en cuenta que Ahora, si dibujas la imagen de[No sé cómo construir una imagen en respuesta], de la gráfica quedará claro que

r^{'} (x) = \sqrt{2 π} e^{(\frac{x^{2}}{2} - x)} (x - 1) {\begin{cases} < 0, & x < 1 \\ > 0, & x > 1 \end{cases}

$r'(x) =\sqrt{2 \pi}\,\,e^{\displaystyle \left(\frac{x^2} 2-x\right)}(x-1)\\ \begin{cases}<0 ,& x<1\\>0 ,& x>1 \end{cases}$

r (x)

$r(x)$

r (x) > k ⟹ x > c

$r(x)>k \implies x>c$

Entonces, para un particular es una prueba de MP de contra $c$

ϕ (x) = {\begin{cases} 1, & x > c \\ 0, & Otherwise \end{cases}

$\phi(x) =\begin{cases} 1,&x>c \\0, &\text{Otherwise} \end{cases}$

H_{o}

$H_o$

H_{1}

$H_1$ de su tamaño.

Puedes probar

1. contra $H_0:X\sim N(0,\dfrac{1}{2})$ $H_1:X\sim \text{Cauchy}(0,1)$
2. contra $H_0:X\sim N(0,1)$ $H_1:X\sim \text{Cauchy}(0,1)$
3. contra $H_0:X\sim N(0,1)$ $H_1:X\sim \text{Double Exponential}(0,1)$

Por Neyman Pearson lema.

Normalmente, la prueba de probabilidad de racionamiento (LRT) no es una buena forma de alternativa compuesta nula y compuesta que pertenecen a diferentes familias de distribuciones. El LRT es especialmente útil cuando $\mathbb{\theta}$ es un multiparámetro y deseamos probar hipótesis relacionadas con uno de los parámetros .

Eso es todo de mi parte.

— ANUNCIO
fuente

Q2 La razón de probabilidad es una estadística de prueba lo suficientemente sensible, pero (a) el Lema de Neyman-Pearson no se aplica a hipótesis compuestas, por lo que el LRT no será necesariamente el más poderoso; & (b) El teorema de Wilks solo se aplica a hipótesis anidadas, por lo que, a menos que una familia sea un caso especial de la otra (por ejemplo, exponencial / Weibull, Poisson / binomio negativo), no se conoce la distribución de la razón de probabilidad debajo de la nula, incluso asintóticamente.

— Scortchi - Restablece a Monica
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"... no sabes la distribución de la razón de probabilidad bajo nulo, incluso asintóticamente". Esa no es una gran preocupación en un mundo en el que puede codificar una simulación bajo nulo en menos de 20 líneas de R.

— Cyan

@Cyan: escribir esas 20 líneas puede requerir un poco de reflexión. Tenga en cuenta que es un nulo compuesto, en general no tendremos pivotes, y no creo que el LR sea necesariamente un pivote aproximado. Supongo que podrías estudiar el LR ...

— Scortchi - Restablece a Monica

Tienes toda la razón. La imagen general es: queremos una estadística de prueba que nos dé la máxima potencia en un nivel de significación dado $\alpha$ . En otras palabras, una forma de calcular un valor $\phi$ para que los puntos formen parte del espacio de parámetros para el cual $\phi$ excede su $\alpha^\mathrm{th}$ cuantil bajo $H_0$ tener el menor peso posible bajo $H_1$ . El lema de Neyman-Pearson demuestra que esa estadística es la razón de probabilidad.
El artículo original de Neyman & Pearson también discute hipótesis compuestas. En algunos casos, la respuesta es sencilla: si hay una selección de distribuciones particulares en cada familia cuya razón de probabilidad es conservadora cuando se aplica a toda la familia. Esto es lo que sucede a menudo, por ejemplo, para hipótesis anidadas. Sin embargo, es fácil que esto no suceda; Este artículo de Cox analiza qué hacer más. Creo que un enfoque más moderno aquí sería abordarlo de una manera bayesiana, poniendo prioridades sobre las dos familias.

— petrelharp
fuente

Gran referencia allí: el papel de Cox.

— Scortchi - Restablece a Monica