EM, ¿hay una explicación intuitiva?


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El procedimiento EM aparece, para los no iniciados, como más o menos magia negra. Estime los parámetros de un HMM (por ejemplo) utilizando datos supervisados. Luego, decodifique los datos sin etiquetar, usando hacia adelante y hacia atrás para 'contar' los eventos como si los datos estuvieran etiquetados, más o menos. ¿Por qué esto mejora el modelo? Sí sé algo sobre las matemáticas, pero sigo deseando algún tipo de imagen mental.


No estoy seguro, pero creo que es posible interpretarlo como un procedimiento de optimización de descenso de gradiente estocástico.
Pensaré

Respuestas:


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Solo para guardar algo de tipeo, llame a los datos observados , los datos faltantes Z (por ejemplo, los estados ocultos del HMM) y el vector de parámetros que estamos tratando de encontrar Q (por ejemplo, probabilidades de transición / emisión).XZQ

La explicación intuitiva es que básicamente hacemos trampa, pretendemos por un momento que conocemos para poder encontrar una distribución condicional de Z que a su vez nos permita encontrar el MLE para Q (ignorando por el momento el hecho de que básicamente estamos haciendo una circular argumento), luego admitir que hicimos trampa, poner nuestro nuevo y mejor valor para Q , y volver a hacerlo hasta que ya no tengamos que hacer trampa.QQQ

Algo más técnico, al pretender que conocemos el valor real , podemos pretender que sabemos algo sobre la distribución condicional de Z | { X , Q } , que nos permite mejorar nuestra estimación de Q , que ahora pretendemos que es el valor real de Q para poder pretender que sabemos algo sobre la distribución condicional de Z | { X , Q } , que nos permite mejorar nuestra estimación de Q , que ... y así sucesivamente.QZ|{X,Q}QQZ|{X,Q}Q

Aún más técnicamente, si supiéramos , podríamos maximizar log ( f ( Q | X , Z ) ) y tener la respuesta correcta. El problema es que no conocemos Z , y cualquier estimación de Q debe depender de ello. Pero si queremos encontrar la mejor estimación (o distribución) con Z , entonces necesitamos saber X y Q . Estamos atrapados en una situación de huevo y gallina si queremos el maximizador único analíticamente.Zlog(f(Q|X,Z))ZQZXQ

Nuestra "salida" es que, para cualquier estimación de (llámelo Q n ), podemos encontrar la distribución de Z | { Q n , X } , y así podemos maximizar nuestra probabilidad de registro conjunta esperada de Q | { X , Z } , con respecto a la distribución condicional de Z | { Q n , X } . Esta distribución condicional básicamente nos dice cómo Z depende del valor actual de Q dado XQQnZ|{Qn,X}Q|{X,Z}Z|{Qn,X}ZQX, y nos permite saber cómo cambiar para aumentar nuestra probabilidad de Q y Z al mismo tiempo para un valor particular de Q (que hemos denominado Q n ). Una vez que hemos elegido un nuevo Q n + 1 , tenemos una distribución condicional diferente para Z | { Q n + 1 , X } y, por lo tanto, tienen que volver a calcular la expectativa.QQZQQnQn+1Z|{Qn+1,X}

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