Neg Binomial y el Prior de Jeffreys

Estoy tratando de obtener el previo de Jeffreys para una distribución binomial negativa. No puedo ver dónde me equivoco, así que si alguien pudiera ayudar a señalar eso, sería apreciado.

Bien, entonces la situación es la siguiente: debo comparar las distribuciones anteriores obtenidas usando un binomio y un binomio negativo, donde (en ambos casos) hay ensayos éxitos. Obtengo la respuesta correcta para el caso binomial, pero no para el binomio negativo. $n$ $m$

Llamemos al anterior . Entonces, $\pi_J(\theta)$

π_{J} (θ) \propto [I (θ)]^{1 / 2} .

$\pi_J(\theta)\propto [I(\theta)]^{1/2}.$

Bajo las condiciones de regularidad (cumplidas ya que estamos tratando con la familia exponencial),

I (θ) = - E (\frac{\partial^{2} \log L (θ | x)}{\partial θ^{2}})

$I(\theta)=-E\left(\frac{\partial^2 \log L(\theta|x)}{\partial \theta^2}\right)$ donde para el binomio negativo es en lo anterior expresión (el número total de éxitos es fijo, no). La distribución, creo, es

n

$n$

x

$x$

m

$m$

n

$n$

p (m | θ) \propto θ^{m} (1 - θ)^{n - m}

$p(m|\theta)\propto\theta^m(1-\theta)^{n-m}$ ya que se define como la probabilidad de éxito es el número de éxitos. Esta también es la probabilidad, ya que es un escalar y no un vector. Por lo tanto,

θ

$\theta$

m

$m$

m

$m$

L (θ | n) \propto θ^{m} (1 - θ)^{n - m} \log L (θ | n) = m \log θ + (n - m) \log (1 - θ) \frac{\partial \log L (θ | n)}{\partial θ} = \frac{m}{θ} - \frac{n - m}{1 - θ} \frac{\partial^{2} \log L (θ | n)}{\partial θ^{2}} = - \frac{m}{θ^{2}} - \frac{n - m}{(1 - θ)^{2}}

$L(\theta|n)\propto\theta^m(1-\theta)^{n-m}\\ \log L(\theta|n)=m\log\theta +(n-m)\log (1-\theta)\\ \frac{\partial\log L(\theta|n)}{\partial \theta}=\frac{m}{\theta}-\frac{n-m}{1-\theta}\\ \frac{\partial^2\log L(\theta|n)}{\partial \theta^2}=-\frac{m}{\theta^2}-\frac{n-m}{(1-\theta)^2}$ por lo que la información de Fisher es

I (θ) = - E (\frac{\partial^{2} \log L (θ | n)}{\partial θ^{2}}) = \frac{m}{θ^{2}} + \frac{E (n) - m}{(1 - θ)^{2}} = \frac{m}{θ^{2}} + \frac{\frac{m θ}{1 - θ} - m}{(1 - θ)^{2}} = \frac{m (1 - θ)^{2} + \frac{m θ^{3}}{(1 - θ)} - m θ^{2}}{θ^{2} (1 - θ)^{2}} = \frac{m (1 - 2 θ) + \frac{m θ^{3}}{(1 - θ)}}{θ^{2} (1 - θ)^{2}} = \frac{m (1 - 2 θ) (1 - θ) + m θ^{3}}{θ^{2} (1 - θ)^{3}} = \frac{m (1 - 3 θ + 2 θ^{2} + θ^{3})}{θ^{2} (1 - θ)^{3}} \propto \frac{1 - 3 θ + 2 θ^{2} + θ^{3}}{θ^{2} (1 - θ)^{3}}

$I(\theta)=-E\left(\frac{\partial^2\log L(\theta|n)}{\partial \theta^2}\right)=\frac{m}{\theta^2}+\frac{E(n)-m}{(1-\theta)^2}=\frac{m}{\theta^2}+\frac{\frac{m\theta}{1-\theta}-m}{(1-\theta)^2}\\ =\frac{m(1-\theta)^2+\frac{m\theta^3}{(1-\theta)}-m\theta^2}{\theta^2(1-\theta)^2}=\frac{m(1-2\theta)+\frac{m\theta^3}{(1-\theta)}}{\theta^2(1-\theta)^2}\\ =\frac{m(1-2\theta)(1-\theta)+m\theta^3}{\theta^2(1-\theta)^3}=\frac{m(1-3\theta+2\theta^2+\theta^3)}{\theta^2(1-\theta)^3}\\ \propto\frac{1-3\theta+2\theta^2+\theta^3}{\theta^2(1-\theta)^3}$

Esto, sin embargo, no me da la respuesta correcta. La respuesta correcta es

π_{J} (θ) \propto \frac{1}{θ (1 - θ)^{1 / 2}}

$\pi_J(\theta)\propto \frac{1}{\theta(1-\theta)^{1/2}}$ que significa que la información que obtengo debe ser

I (θ) = \frac{1}{θ^{2} (1 - θ)}

$I(\theta)=\frac{1}{\theta^2(1-\theta)}$ ya que lo anterior debe ser proporcional a la raíz cuadrada de la información.

¿Alguien puede encontrar algún error? No me sorprendería si arruinara algo la configuración de la distribución (éxitos versus fracasos con sus respectivas probabilidades, etc.).

Utilicé el valor esperado de Wikipedia y sé la respuesta correcta desde aquí (página 3) .

— hejseb
fuente

El problema surge porque la distribución binomial negativa se puede formular de manera diferente. Como consecuencia, la expectativa difiere para diferentes formulaciones. De la forma en que ha especificado la distribución binomial negativa, la expectativa de es (por ejemplo, consulte aquí en la página 3). Con eso, la información de Fisher se simplifica a $n$ $E(n) = m/\theta$

I (θ) = m (\frac{1}{θ^{2} (1 - θ)})

$I(\theta) = m\left(\frac{1}{\theta^2(1-\theta)}\right)$

Por lo tanto, la prioridad de Jeffrey es

π_{J} (θ) = | I (θ) |^{1 / 2} \propto θ^{- 1} (1 - θ)^{- 1 / 2}

$\pi_{J}(\theta) = |I(\theta)|^{1/2}\propto \theta^{-1}(1-\theta)^{-1/2}$

como ya has notado

— COOLSerdash
fuente

¡Estupendo! Eso es muy útil y también una excelente referencia, ya que pasa por el mismo problema con el que estaba luchando. ¡Gracias!

— hejseb

He encontrado una solución que usa otra formulación, mira aquí . Me alegro de poder ayudar. De nada.

— COOLSerdash