Prueba de relación entre tasa de riesgo, densidad de probabilidad, función de supervivencia

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Estoy leyendo un poco sobre análisis de supervivencia y la mayoría de los libros de texto afirman que

$h(t)= \lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{P(t < T \leq t+\Delta t |T \geq t )}{ \Delta t} =\frac{f(t)}{1-F(t)} (1)$

donde $h(t)$ es la tasa de riesgo,

$f(t)=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{P(t < T \leq t+\Delta t)}{ \Delta t}(2)$ la función de densidad,

$F(t)=Pr(T<t) (3)$ y

$S(t)=Pr(T>t)=1-F(t) (4)$

También afirman que

$S(t)= e^{- \int_0^t h(s)ds } (5)$

La mayoría de los libros de texto (al menos los que tengo) no proporcionan pruebas de (1) o (5). Creo que logré pasar (1) de la siguiente manera

$h(t)= \lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{P(t < T \leq t+\Delta t |T \geq t )}{ \Delta t}=$ $\lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{P(T \geq t |t < T \leq t+\Delta t ) P(t < T \leq t+\Delta t)}{ P(T \geq t)\Delta t}$ que debido a (2) y (4) se convierten en $\lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{P(T \geq t |t < T \leq t+\Delta t )f(t)}{S(t)\Delta t}$ pero $P(T \geq t |t < T \leq t+\Delta t )=1$ por lo tanto $h(t)=\frac{f(t)}{1-F(t)}$

¿Cómo se prueba (5)?

survival

— no hay stock
fuente

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¿Has notado que es la derivada de ?

h (t)

$h(t)$

- \log S (t)

$- \log S(t)$

— Stéphane Laurent

Sí, tampoco lo entiendo ...

— nostock

En su prueba de (1), primero debe argumentar que la segunda probabilidad en el numerador es 1, y luego aplicar (2) y (4).

— ocram

¿Por qué es importante el orden?

— nostock

1

Si sigue ordenando, debe argumentar que el límite como (en lugar de la probabilidad en sí) es igual a . De todos modos, este es un detalle ...

Δ t \to 0

$\Delta t \rightarrow 0$

1

$1$

— 2013

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La derivada de es Por lo tanto, como lo menciona @ StéphaneLaurent, tenemos donde la última igualdad se sigue de (1). $S$

\frac{d S (t)}{d t} = \frac{d (1 - F (t))}{d t} = - \frac{d F (t)}{d t} = - f (t)

$\frac{\mathrm{d}S(t)}{\mathrm{dt}} = \frac{\mathrm{d}(1 - F(t))}{\mathrm{dt}} = - \frac{\mathrm{d}F(t)}{\mathrm{dt}} = -f(t)$

- \frac{d \log (S (t))}{d t} = \frac{- \frac{d S (t)}{d t}}{S (t)} = \frac{f (t)}{S (t)} = h (t)

$-\frac{\mathrm{d}\log(S(t))}{\mathrm{dt}} = \cfrac{-\frac{\mathrm{d}S(t)}{\mathrm{dt}}}{S(t)} = \frac{f(t)}{S(t)} = h(t)$

Tomando la integral de ambos lados de la relación anterior, obtenemos para que

- \log (S (t)) = \int_{0}^{t} h (s) d s

$-\log(S(t)) = \int_0^t h(s) \, \mathrm{d}s$

S (t) = \exp {- \int_{0}^{t} h (s) d s}

$S(t) = \exp \left\{- \int_0^t h(s) \, \mathrm{d}s\right\}$

Esta es tu ecuación (5). La parte integral en el exponencial es el peligro integrado, también llamado peligro acumulado [de modo que ]. $H(t)$ $S(t) = \exp(-H(t))$

— ocram
fuente

¿Podría ser un poco más explícito en

- \frac{d \log (S (t))}{d t} = \frac{- \frac{d S (t)}{d t}}{S (t)}

$-\frac{\mathrm{d}\log(S(t))}{\mathrm{dt}} = \cfrac{-\frac{\mathrm{d}S(t)}{\mathrm{dt}}}{S(t)}$

— nostock

1

Esta es la regla del chaine. Tenemos para que

\frac{d \log (x)}{d x} = \frac{1}{x}

$\frac{\mathrm{d}\, \log(x)}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{x}$

\frac{d \log (f (x))}{d x} = \frac{\frac{d f (x)}{d x}}{x}

$\cfrac{\mathrm{d}\, \log(f(x))}{\mathrm{d}x} = \cfrac{\frac{\mathrm{d}\,f(x)}{\mathrm{d}x}}{x}$

— ocram

¿Debería la x en el lado derecho de la última ecuación ser f (x) ?, es decir, para diferenciar y = log S (t). Sea u = S (t) por lo tanto . Además, tenemos y entonces . Por la regla de la cadena, entonces

\frac{d u}{d t} = d S (t) / d t = S^{'} (t)

$\frac{du}{dt} =dS(t)/dt = S'(t)$

y = l o g S (t) = l o g (u)

$y = log S(t) = log(u)$

\frac{d y}{d u} = \frac{1}{u} = \frac{1}{S (t)}

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u} = \frac{1}{S(t)}$

\frac{d y}{d t} = \frac{d y}{d u} \frac{d u}{d t} = \frac{1}{S (t)} S^{'} (t) = \frac{S^{'} (t)}{S (t)}

$\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dt} = \frac{1}{S(t)} S'(t) = \frac{S'(t)}{S(t)}$

— usuario1420372

@ user1420372: Sí, tienes razón. Debería haber sido f (x).

— ocram

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h (t) = \frac{f (t)}{S (t)}

$h(t) = \frac{f(t)}{S(t)}\$

= \frac{f (t)}{1 - F (t)}

$= \frac{f(t)}{1-F(t)}$

= \frac{f (t)}{1 - \int_{0}^{t} f (s) d s}

$= \frac{f(t)}{1- \int^t_0{f(s) ds}}$

Integre ambos lados: Diferenciar ambos lados:

\int_{0}^{t} h (s) d s = \int_{0}^{t} \frac{f (s)}{1 - \int_{0}^{t} f (s) d s} d s

$\int^t_0 h(s) ds = \int^t_0 \frac{f(s)}{1- \int^t_0{f(s)ds}}ds$

= - \ln [1 - \int_{0}^{t} f (s) d s]_{0}^{t} + c

$= -\ln [1- \int^t_0{f(s)ds}]^t_0+ c$

1 - \int_{0}^{t} f (s) d s = \exp [- \int_{0}^{t} h (s) d s]

$1- \int^t_0{f(s)ds} = \exp [-\int^t_0 h(s) ds]$

- f (t) = - h (t) \exp [- \int_{0}^{t} h (s) d s]

$-f(t) = -h(t) \exp[-\int^t_0 h(s) ds]$

f (t) = h (t) \exp [- \int_{0}^{t} h (s) d s]

$f(t) = h(t) \exp[-\int^t_0 h(s) ds]$

Como

h (t) = \frac{f (t)}{S (t)}

$h(t) = \frac{f(t)}{S(t)}$

S (t) = \frac{f (t)}{h (t)}

$S(t) = \frac{f(t)}{h(t)}$

Reemplace por , Por lo tanto, $f(t)$ $h(t) \exp[-\int^t_0 h(s) ds]$

S (t) = \frac{h (t) \exp [- \int_{0}^{t} h (s) d s]}{h (t)}

$S(t) = \frac{h(t) \exp[-\int^t_0 h(s) ds]}{h(t)}$

S (t) = \exp [- \int_{0}^{t} h (s) d s]

$S(t) = \exp[-\int^t_0 h(s) ds]$

— Vara
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Probamos la siguiente ecuación: prueba:

S (t) = \exp {- \int_{0}^{t} h (u) d u}

$S(t)=\exp\{-\int_{0}^{t}h(u)du\}$

Primero demostramos prueba:

f (t) = - \frac{d S (t)}{d t}

$f(t)=-\frac{dS(t)}{dt}$

f (t) = \frac{d F (t)}{d t} = \frac{d P (T < t)}{d t} = \frac{d (1 - S (t))}{d t} = - \frac{d S (t)}{d t} ◼

$f(t)=\frac{dF(t)}{dt}=\frac{dP(T<t)}{dt}=\frac{d(1-S(t))}{dt}=-\frac{dS(t)}{dt}\ \blacksquare$ Y sabemos que Sustituye en obtenemos luego continúe con nuestra prueba principal. Al integrar ambos lados de la ecuación anterior, tenemos Luego obtenemos el resultado

h (t) = \frac{f (t)}{S (t)}

$h(t)=\frac{f(t)}{S(t)}$

f (t)

$f(t)$

h (t)

$h(t)$

h (t) = \frac{- \frac{d S (t)}{d t}}{S (t)}

$h(t)=\frac{-\frac{dS(t)}{dt}}{S(t)}$

\int_{0}^{t} h (u) d u = \int_{0}^{t} \frac{- \frac{d S (t)}{d t}}{S (t)} d t = \int_{0}^{t} - S (t)^{- 1} d S (t) = - [\log S (t) - \log S (0)] = - \log S (t)

$\int_0^th(u)du=\int_0^t\frac{-\frac{dS(t)}{dt}}{S(t)}dt=\int_0^t-S(t)^{-1}dS(t)\\ =-[\log S(t)-\log S(0)]=-\log S(t)$

S (t) = \exp {- \int_{0}^{t} h (u) d u} ◼

$S(t)=\exp\{-\int_0^th(u)du\}\ \blacksquare$

— CCKevin Wang
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