Encontrar un número conocido de centros de círculo que maximicen el número de puntos dentro de una distancia fija

Tengo un conjunto de datos en 2-D donde quiero encontrar los centros de un número específico de centros de círculos ( ) que maximizan el número total de puntos dentro de una distancia específica ( ).$N$$R$

Por ejemplo, tengo 10,000 puntos de datos y quiero encontrar los centros de círculos que capturan tantos puntos como sea posible dentro de un radio de . Los 5 centros y el radio de 10 se dan de antemano, no se derivan de los datos.N = 5 R = $(X_i, Y_i)$$N=5$$R=10$

La presencia de un punto de datos dentro de un círculo es una propuesta binaria. Si , no hay diferencia en el valor de un punto a 11 unidades de distancia vs. . Un punto de datos está dentro o fuera de uno de los círculos.$R=10$

¿Hay algún buen algoritmo que pueda usarse para resolver este problema? Esto parece estar relacionado con las técnicas de agrupamiento, pero en lugar de minimizar la distancia promedio, la función de "distancia" es 0 si el punto está dentro de de cualquiera de los puntos, y 1 en caso contrario.$R$$N$

Preferiría encontrar una manera de hacer esto en R, pero cualquier enfoque sería apreciado.

Este es un problema de variación k-medias. El radio de los centros no importa, siempre que se suponga que son iguales.

Enlaces:

• http://en.wikipedia.org/wiki/K-means_clustering
• http://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/stats/html/kmeans.html

Pondrá los centros de los círculos en ubicaciones de mayor probabilidad de los puntos.

Procedimiento clásico de K-medias:

1. establecer el recuento de clústeres en 5
2. poner cada punto en un grupo aleatorio
3. para cada grupo, calcule la posición media
4. para cada punto, calcule la distancia a cada nueva posición media
5. asociar membresía con el grupo más cercano
6. repita hasta que termine (iteraciones, cambio de posición u otra métrica de error)

Opciones:

• Puede usar un poco de relajación después de 3, donde traslada la posición media lentamente hacia la nueva posición.
• Este es un sistema discreto, por lo que no converge perfectamente. A veces lo hace y puede terminar cuando los puntos dejan de cambiar la membresía, pero a veces simplemente se mueven un poco.
• Si está creando su propio código (como debería hacerlo la mayoría de las personas), puede usar el medio POR k anterior como punto de partida y hacer alguna variación en EM informada por el porcentaje de puntos exclusivamente y completamente abarcados por los círculos.

Por qué K-means ataca el problema:

• Es el equivalente a ajustar un modelo de mezcla gaussiana donde las covarianzas de los componentes son iguales. Los centros de los componentes de la mezcla se ubicarán en las posiciones de mayor expectativa de puntos. Las curvas de probabilidad constante serán círculos. Este es el algoritmo EM, por lo que tiene la convergencia asintótica. Las membresías son duras, no blandas.
• Creo que si la suposición fundamental del modelo de mezcla de componentes de varianza igual es razonablemente "cercana", sea lo que sea lo que eso signifique, entonces este método va a encajar. Si solo distribuye puntos al azar, es menos probable que se ajuste bien.

Debería haber algún análogo de un "Poisson inflado cero" donde hay un componente que no es gaussiano que recoge la distribución uniforme.

Si desea "ajustar" su modelo y estaba seguro de que había suficientes puntos de muestra, entonces podría inicializar con k-means, y luego hacer un ajustador de k-means aumentado que elimine puntos fuera de los radios de los círculos de la competencia. Perturbaría ligeramente los círculos que tiene, pero podría haber mejorado ligeramente el rendimiento dados los datos.

Alguien probablemente tenga un mejor algoritmo formal, pero aquí hay un enfoque de fuerza bruta (¿un truco?). Usaría uno de los algoritmos de agrupamiento hexagonal para calcular un histograma 2D. Al igual que hexbinen R.

Usaría un tamaño de hexágono que circunscribiría aproximadamente su círculo de radio R y luego ordenaría en los contenedores superiores de N. Si tienes Ncontenedores distintos muy lejos, genial. Ahora, una forma es moverse alrededor del círculo localmente en una escala R 2 * (en direcciones x e y) desde el centro de los hexágonos de densidad superior. Calcular las densidades puede optimizar aproximadamente la posición localmente. Esto explicará el hecho de que los hexágonos no eran una ventana móvil con respecto a un origen fijo.

Si todos los contenedores superiores están cerca, tendría que tener una forma más inteligente de mover sus círculos en esa vecindad.

Tenga en cuenta que puedo pensar en varios casos de esquina donde una estrategia tan ingenua fracasará espectacularmente. Sin embargo, solo un punto de partida.

Mientras tanto, espero que alguien tenga un mejor algoritmo.