¿Para qué distribución es una media recortada el estimador de máxima verosimilitud?

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La media muestral es el estimador de máxima verosimilitud de para una distribución normal . La mediana de la muestra es el estimador de máxima verosimilitud de para una distribución de Laplace (también llamada distribución exponencial doble). $\mu$ $\text{Normal}(\mu,\sigma)$ $m$ $\text{Laplace}(m,s)$

¿Existe una distribución con un parámetro de ubicación para el cual la media de la muestra recortada es el estimador de máxima verosimilitud?

distributions maximum-likelihood trimmed-mean

— Rasmus Bååth
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Las distribuciones, si las hay, se obtienen como integrales de las ecuaciones de estimación. Supongamos por simplicidad que el parámetro de escala es conocido, y los parámetros de recorte, si los hay, son fijos.

Para la media muestral, la ecuación de estimación esImaginando que esta es la derivada de la probabilidad de registro, con una gran cantidad de abuso de notación y pérdida de rigor, tenemos en el que parámetro (constante de integración) tiene que ser negativo para asegurar que se integra a algo significativo. $E (x - μ) = 0.$ ${\rm E}(x-\mu)=0.$ $\frac{d \ln l (μ; x)}{d μ} = x - μ, \ln l (μ; x) = a (x - μ)^{2}, l (μ; x) \propto \exp [a (x - μ)^{2}],$ $\frac{{\rm d}\ln l(\mu;x)}{{\rm d}\mu} = x-\mu, \quad \ln l(\mu;x) = a (x-\mu)^2, \quad l(\mu;x) \propto \exp[ a(x-\mu)^2],$ $a$
Para la mediana de la muestra, la ecuación de estimación esIntegre esto para obtener Donde de nuevo sin tener que elegir negativa a ser algún sentido. $E s i g n (x - μ) = 0.$ ${\rm E \, sign}(x-\mu)=0.$ $l (μ; x) \propto \exp [a | x - μ |],$ $l(\mu;x) \propto \exp[ a|x-\mu| ],$ $a$
Para la media recortada, la ecuación de estimación esVeamos a qué se integra:Parece una normal censurada en el centro, pero mira las colas: son incorrectas si . Entonces, para obtener una distribución adecuada, tenemos que establecer . Pero entonces tenemos una inconsistencia lógica: esta distribución tendría que dar un pdf cero a algunos datos reales en las colas recortadas. Esto es contradictorio y muestra algunos efectos secundarios indeseables del recorte. $E ρ (x, μ, c) = 0, ρ (x, μ, c) = {\begin{cases} x - μ, & | x - μ | \leq c, \\ 0, & | x - μ | > c . \end{cases}$ ${\rm E}\rho(x,\mu,c) = 0, \quad \rho(x,\mu,c) = \left\{ \begin{array}{ll} x-\mu, & |x-\mu|\le c, \\ 0, & |x-\mu|>c. \end{array} \right.$ $l (μ; x, c) = {\begin{cases} \exp [a (x - μ)^{2}], & | x - μ | \leq c, \\ b, & | x - μ | > c . \end{cases}$ $l(\mu;x, c) = \left\{ \begin{array}{ll} \exp[ a(x-\mu)^2], & |x-\mu|\le c, \\ b, & |x-\mu|>c. \end{array} \right.$ $b>0$ $b=0$

A veces, es beneficioso establecer la "probabilidad" de un método para mostrar su normalidad asintótica y la eficiencia para una clase estrecha de distribuciones. En general, la normalidad asintótica de la media recortada puede deducirse de la teoría de las estimaciones de $M$

— StasK
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¿Es realmente la ecuación de estimación de una media recortada? En tu ecuación

c

$c$ parece ser una constante que "descarta" datos que son

c

$c$ lejos de la media, mientras que en la versión habitual de una media recortada, usted define qué proporción de los puntos de datos deben descartarse de las colas de los datos. ¿No son estas dos cosas diferentes o me estoy perdiendo algo?

— Rasmus Bååth

Sí, de hecho es algo diferente. Dije que estoy tratando la constante de recorte como fija. Hacerlo dependiente de los datos complicará las cosas, pero creo que eventualmente conducirá a la conclusión similar de que algunos de los puntos de datos son "imposibles" bajo la distribución implicada por la "probabilidad".

— StasK

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Dejando a un lado casos especiales como la mediana, no creo que los medios recortados sean generalmente ML; si lo fueran, ya serían una forma de estimador M. Sin embargo, si toma una distribución que es normal en el medio con, por ejemplo, colas exponenciales, la distribución correspondiente a un estimador M de Huber, entonces para un nivel particular de recorte, se espera que la media recortada sea altamente eficiente.

— Glen_b -Reinstate a Monica
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