Varianza de dos variables aleatorias ponderadas

Dejar:

Desviación estándar de la variable aleatoria $A =\sigma_{1}=5$

Desviación estándar de la variable aleatoria $B=\sigma_{2}=4$

Entonces la varianza de A + B es:

$Var(w_{1}A+w_{2}B)= w_{1}^{2}\sigma_{1}^{2}+w_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} +2w_{1}w_{2}p_{1,2}\sigma_{1}\sigma_{2}$

Dónde:

es la correlación entre las dos variables aleatorias.$p_{1,2}$

es el peso de la variable aleatoria A$w_{1}$

es el peso de la variable aleatoria B$w_{2}$

$w_{1}+w_{2}=1$

La figura siguiente muestra la varianza de A y B a medida que el peso de A cambia de 0 a 1, para las correlaciones -1 (amarillo), 0 (azul) y 1 (rojo).

¿Cómo resultó la fórmula en una línea recta (roja) cuando la correlación es 1? Por lo que puedo decir, cuando , la fórmula se simplifica a:$p_{1,2}=1$

$Var(w_{1}A+w_{2}B)= w_{1}^{2}\sigma_{1}^{2}+w_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} +2w_{1}w_{2}\sigma_{1}\sigma_{2}$

$y=mx+c$

Gracias.

$w_1 + w_2 = 1$

$$\eqalign{ \text{Var}(w_1 A + w_2 B) &= \left( w_1 \sigma_1 + w_2 \sigma_2 \right)^2 \cr &= \left( w_1(\sigma_1 - \sigma_2) + \sigma_2 \right)^2 \text{.} }$$

$\sigma_1 \ne \sigma_2$$w_1$$\sigma_2 / (\sigma_2 - \sigma_1)$$\sigma_1 = 5$$\sigma_2 = 4$$-5$

$\sigma_1 = \sigma_2$$w_1$

$w_1$$0$$1$$w_1$ $w_1$

$\rho = 1 - 2^{-k}, k = -1, 0, 1, \ldots, 10$

No es lineal La fórmula dice que no es lineal. ¡Confía en tu instinto matemático!

$\sigma_{1}=5$$\sigma_{2}=4$$\sigma_{1}=37$

Aquí hay un código R:

a <- 5; b <- 4; p <- 1
f <- function(w) w^2*a^2 + (1-w)^2*b^2 + 2*w*(1-w)*p*a*b
curve(f, from = 0, to = 1)

Si desea consultar algunas pendientes:

(f(0.5) - f(0.4)) / 0.1
(f(0.8) - f(0.7)) / 0.1