Tarea: Análisis de datos bayesianos: prioridades en ambos parámetros binomiales

El siguiente es un problema de Bayesian Data Analysis 2nd ed , p. 97. Andrew Gelman no ha incluido su solución en la guía de su sitio web y me ha estado volviendo loco todo el día. Literalmente todo el día.

Para algunos datos , modelados como una distribución binomial con población y parámetros de probabilidad , ambos desconocidos. El problema plantea la pregunta con esta información: (1) Establecer un previo en es difícil, ya que solo toma números naturales positivos, por lo que se trata como , donde \ mu es desconocido. (2) Para definir lo anterior en (N, \ theta) , tenemos \ lambda = \ mu \ theta . (La lógica aquí es que puede ser más fácil formular una consideración previa de la expectativa incondicional de las observaciones, en lugar de la media de la N no observada$y$$N$$\theta$$N$$\Pr(N|\mu) = Poisson(\mu)$$\mu$$(N, \theta)$$\lambda=\mu\theta$$N$.) (3) Un potencial previo no informativo es $p(\lambda, \theta) \varpropto 1/\lambda$ .

La parte del problema en la que estoy colgado es cómo transformar las variables y determinar $p(N, \theta)$ .

El enfoque que he intentado es escribir $p(N,\theta|\lambda)p(\lambda, \theta)$ , y eliminar el \ lambda no deseado $\lambda$mediante la integración, es decir $p(N,\theta)=\int_0^\infty C\mu^N/(exp(\mu)\lambda N!)d\lambda$ , y sustituyendo $\mu$ con la relación $\mu=\lambda/\theta$ . Este enfoque se reduce a $p(N,\theta)=C/(N+1)$ , donde $C$ es la constante de proporcionalidad introducida desde (3).

Este resultado me preocupa, porque implica que la probabilidad conjunta de algunos valores de $\theta$ y $N$ solo depende de $N$ , y no de $\theta$ . Además, algunas campanas vagas están sonando desde mi cálculo multivariable bastante decrépito, intentando recordarme sobre los jacobianos y coordinar las transformaciones, pero no estoy seguro de que este enfoque de integración sea incluso apropiado.

Agradezco su ayuda y comprensión.

Hice todas las preguntas de los primeros cuatro capítulos hace seis años. Esto es lo que tengo:

$p(\mu,\theta)\propto\left|\frac{\partial \lambda}{\partial \mu}\right|p(\lambda,\theta)=\mu^{-1}.$

Entonces

$\begin{array}{lrl}p\left(N,\theta\right) & = & \int_{0}^{\infty}p\left(\mu,N,\theta\right)\mathrm{d}\mu\\ & = & \int_{0}^{\infty}p\left(\mu,\theta\right)\Pr\left(N\,|\,\mu\right)\mathrm{d}\mu\\ & \propto & \int_{0}^{\infty}\mu^{-1}\left(\frac{\mu^{N}}{N!}e^{-\mu}\right)\mathrm{d}\mu\\ & = & \frac{\left(N-1\right)!}{N!}=N^{-1}\end{array}$

No necesita preocuparse de que no dependa de . Esto solo significa que el anterior para es uniforme en , lo cual es genial para un parámetro de Bernoulli.$p(N,\theta)$$\theta$$\theta$$[0,1]$