Varianza del producto de múltiples variables aleatorias

Conocemos la respuesta para dos variables independientes:

V a r (X Y) = E (X^{2} Y^{2}) - (E (X Y))^{2} = V a r (X) V a r (Y) + V a r (X) (E (Y))^{2} + V a r (Y) (E (X))^{2}

${\rm Var}(XY) = E(X^2Y^2) − (E(XY))^2={\rm Var}(X){\rm Var}(Y)+{\rm Var}(X)(E(Y))^2+{\rm Var}(Y)(E(X))^2$

Sin embargo, si tomamos el producto de más de dos variables, , ¿cuál sería la respuesta en términos de varianzas y valores esperados de cada variable? ${\rm Var}(X_1X_2 \cdots X_n)$

variance random-variable independence

— damla
fuente

Dado que

es una variable aleatoria y (suponiendo que todas las

sean independientes) es independiente de

, la respuesta se obtiene inductivamente: no se necesita nada nuevo. Para que esto no parezca demasiado misterioso, la técnica no es diferente a señalar que, dado que puede sumar dos números con una calculadora, puede sumar

números con la misma calculadora simplemente mediante la suma repetida.

X_{1} X_{2} \dots X_{n - 1}

$X_1X_2\cdots X_{n-1}$

X_{i}

$X_i$

X_{n}

$X_n$

n

$n$

— whuber

¿Podría escribir una prueba de su ecuación mostrada? Tengo curiosidad por saber qué pasó con el término

que debería darle algunos términos que involucran

(E [X Y])^{2}

$(E[XY])^2$

cov (X, Y)

$\operatorname{cov}(X,Y)$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate, sospecho que esta pregunta supone tácitamente que

son independientes. La fórmula del OP es correcta siempre que

no estén correlacionados y

no estén correlacionados. Vea mi respuesta a una pregunta relacionada aquí .

X

$X$

Y

$Y$

X, Y

$X,Y$

X^{2}, Y^{2}

$X^2, Y^2$

— Macro

@Macro Soy muy consciente de los puntos que planteas. Lo que estaba tratando de que el OP entendiera y / o descubriera por sí mismo era que para variables aleatorias independientes , tal como

simplifica a

E [X^{2} Y^{2}]

$E[X^2Y^2]$

simplifica a

E [X^{2} Y^{2}] = E [X^{2}] E [Y^{2}] = (σ_{X}^{2} + μ_{X}^{2}) (σ_{Y}^{2} + μ_{Y}^{2}),

$E[X^2Y^2]=E[X^2]E[Y^2]=(\sigma_X^2+\mu_X^2)(\sigma_Y^2+\mu_Y^2),$

E [(X_{1} \dots X_{n})^{2}]

$E[(X_1\cdots X_n)^2]$

E [(X_{1} \dots X_{n})^{2}] = E [X_{1}^{2}] \dots E [X_{n}^{2}] = \prod_{i = 1}^{n} (σ_{X_{i}}^{2} + μ_{X_{i}}^{2})

$E[(X_1\cdots X_n)^2]=E[X_1^2]\cdots E[X_n^2]=\prod_{i=1}^n(\sigma_{X_i}^2+\mu_{X_i}^2)$ lo cual creo que es una forma más directa de llegar al resultado final que el método inductivo que señaló Whuber.

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate, bien. ¡Te sugiero que publiques eso como respuesta para que pueda votarlo!

— Macro

$X_1, X_2, \cdots , X_n$

\begin{aligned} var (X_{1} \dots X_{n}) & = E [(X_{1} \dots X_{n})^{2}] - {(E [X_{1} \dots X_{n}])}^{2} \\ = E [X_{1}^{2} \dots X_{n}^{2}] - {(E [(X_{1}] \dots E [X_{n}])}^{2} \\ = E [X_{1}^{2}] \dots E [X_{n}^{2}] - (E [X_{1}])^{2} \dots (E [X_{n}])^{2} \\ = \prod_{i = 1}^{n} (var (X_{i}) + (E [X_{i}])^{2}) - \prod_{i = 1}^{n} {(E [X_{i}])}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{var}(X_1\cdots X_n) &= E[(X_1\cdots X_n)^2]-\left(E[X_1\cdots X_n]\right)^2\\ &= E[X_1^2\cdots X_n^2]-\left(E[(X_1]\cdots E[X_n]\right)^2\\ &= E[X_1^2]\cdots E[X_n^2] - (E[X_1])^2\cdots (E[X_n])^2\\ &= \prod_{i=1}^n \left(\operatorname{var}(X_i)+(E[X_i])^2\right) - \prod_{i=1}^n \left(E[X_i]\right)^2 \end{align}$

n = 2

$n=2$

n = 2

$n=2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1}^{2}

$X_1^2$

X_{2}^{2}

$X_2^2$

n \geq 3

$n \geq 3$

— Dilip Sarwate
fuente

¡muchas gracias! Realmente lo aprecio. Sí, la pregunta era para variables aleatorias independientes.

— damla

X_{1} = X_{2} = \dots = X_{n} = X

$X_1=X_2=\cdots=X_n=X$

He publicado la pregunta en una nueva página. ¡Muchas gracias! stats.stackexchange.com/questions/53380/…

— damla

n

$n$

3

$3$