Explicación del factor de corrección finito.

Entiendo que cuando se toma una muestra de una población finita y nuestro tamaño de muestra es más del 5% de la población, necesitamos una corrección en la media y el error estándar de la muestra usando esta fórmula:

$\hspace{10mm} FPC=\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}$

Donde es el tamaño de la población es el tamaño de la muestra.$N$$n$

Tengo 3 preguntas sobre esta fórmula:

1. ¿Por qué el umbral se establece en 5%?
2. ¿Cómo se derivó la fórmula?
3. ¿Existen otros recursos en línea que expliquen exhaustivamente esta fórmula además de este documento?

El umbral se elige de modo que asegure la convergencia de la distribución hipergeométrica ( es su SD), en lugar de una distribución binomial (para muestreo con reemplazo), a una distribución normal ( este es el Teorema del límite central, ver, por ejemplo, La curva normal, el Teorema del límite central y las Desigualdades de Markov y Chebychev para variables aleatorias ). En otras palabras, cuando (es decir, no es 'demasiado grande' en comparación con ), el FPC puede ignorarse con seguridad; es fácil ver cómo evoluciona el factor de corrección con variable para un fijo : con , tenemos$\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}$n N n N N = 10 , 000 FPC = $n/N\leq 0.05$$n$$N$$n$$N$$N=10,000$$\text{FPC}=.9995$ cuando mientras cuando . Cuando , el FPC se acerca a 1 y estamos cerca de la situación de muestreo con reemplazo (es decir, como con una población infinita).FPC = .3162 n = 9 , 000 N → $n=10$$\text{FPC}=.3162$$n=9,000$$N\to\infty$

Para comprender estos resultados, un buen punto de partida es leer algunos tutoriales en línea sobre la teoría de muestreo donde el muestreo se realiza sin reemplazo ( muestreo aleatorio simple ). Este tutorial en línea sobre estadísticas no paramétricas tiene una ilustración sobre cómo calcular la expectativa y la varianza para un total.

Notarás que algunos autores usan lugar de en el denominador del FPC; de hecho, depende de si trabaja con la estadística de muestra o población: para la varianza, será lugar de si está interesado en lugar de .N - 1 N N - 1 S 2 σ $N$$N-1$$N$$N-1$$S^2$$\sigma^2$

En cuanto a las referencias en línea, puedo sugerirle

• Estimación e inferencia estadística
• Una nueva mirada a la inferencia para la distribución hipergeométrica
• Muestreo de población finita con aplicación a la distribución hipergeométrica
• Muestreo aleatorio simple