Sesgo para el estimador de densidad del núcleo (caso periódico)

Estimador de densidad de Kernel está dada por

\hat{f} (x, h) = \frac{1}{n h} \sum_{i = 1}^{n} K (\frac{x - X_{i}}{h})

$\hat{f}(x,h)=\frac{1}{nh}\sum_{i=1}^{n}K(\frac{x-X_{i}}{h})$ donde iid con alguna densidad desconocida,- ancho de banda,

X_{1}, . . . X_{n}

$X_1,...X_n$

f

$f$

h

$h$

$K$ - función del núcleo ( , , ). El sesgo se puede calcular utilizando la expansión de Taylor: $\int_{-\infty}^{\infty}K(x)dx=1$ $\int_{-\infty}^{\infty}K(x)xdx=0$ $\int_{-\infty}^{\infty}K(x)x^2dx<\infty$

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{h} K (\frac{x - y}{h}) f (y) d y - f (x) = \int_{- \infty}^{\infty} K (y) (f (x - h y) - f (x)) d y

$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{h}K(\frac{x-y}{h})f(y)dy-f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}K(y)\left(f(x-hy)-f(x)\right)dy$

= \int_{- \infty}^{\infty} K (y) (F^{'} (X) h y + \frac{1}{2} F^{″} (X) (h y)^{2} + o (h^{2})) re y = \frac{1}{2} F^{″} (X) h^{2} + o (h^{2})

$=\int_{-\infty}^{\infty}K(y)\left(f'(x)hy+\frac{1}{2}f''(x)(hy)^{2}+o(h^{2})\right)dy=\frac{1}{2}f''(x)h^{2}+o(h^{2})$

Cómo lidiar con el núcleo periódico $f$ ( $\int_{0}^{1}K(x)dx=1$ , $\int_{0}^{1}K(x)xdx=0$ , $\int_{0}^{1}K(x)x^2dx<\infty$ )?

¿Cómo puedo usar la expansión taylor? ( -No puedo usar las propiedades del kernel) $\int_{0}^{1}\frac{1}{h}K(\frac{y-x}{h})f(y)dy=\int_{-\frac{x}{h}}^{1-\frac{x}{h}}K(y)f(x-yh)dy\neq\int_{0}^{1}K(y)f(x-yh)dy$

¿Podría recomendar un buen libro sobre el suavizado del núcleo para datos circulares?

kernel-smoothing

— Katja
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Un rápido google saca a relucir esto, lo que indica que al trabajar con datos circulares necesitará una definición diferente de 'sesgo' para comenzar:

Sin embargo, cuando el uso de datos en el círculo, no podemos utilizar la distancia en el espacio euclidiano, por lo que todas las diferencias θ - θ _i debería sustituirse por teniendo en cuenta el ángulo entre dos vectores:

$d_i\theta)= \| \theta -\theta_i \| = \min(|\theta-\theta_i|, 2π -|\theta-\theta_i|).$

- Charles C Taylor. Selección automática de ancho de banda para la estimación de densidad circular. Estadísticas computacionales y análisis de datos Volumen 52, número 7, 15 de marzo de 2008, páginas 3493-3500. doi: 10.1016 / j.csda.2007.11.003

Él hace referencia a estos libros:

S. Rao Jammalamadaka y A. SenGupta, Temas en estadísticas circulares , World Scientific, Singapur (2001).

KV Mardia y PE Jupp, Directional Statistics , John Wiley, Chichester (1999).

— una parada
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