¿Cómo se calcula la expectativa de

Si se distribuye exponencialmente con el parámetro y son mutuamente independientes, ¿cuál es la expectativa de $X_i$ $(i=1,...,n)$ $\lambda$ $X_i$

{(\sum_{i = 1}^{n} X_{i})}^{2}

$\left(\sum_{i=1}^n {X_i} \right)^2$

en términos de y y posiblemente otras constantes? $n$ $\lambda$

Nota: Esta pregunta obtuvo una respuesta matemática en /math//q/12068/4051 . Los lectores también lo echarían un vistazo.

expected-value exponential gamma-distribution

— Isaac
fuente

Las dos copias de esta pregunta se refieren entre sí y, apropiadamente, el sitio de estadísticas (aquí) tiene una respuesta estadística y el sitio de matemáticas tiene una respuesta matemática. Parece una buena división: ¡déjelo en pie!

— Whuber

Respuestas:

Si , entonces (bajo independencia), , entonces se distribuye gamma (ver wikipedia ). Entonces, solo necesitamos . Como , sabemos que . Por lo tanto, (consulte wikipedia para conocer las expectativas y la variación de la distribución gamma). $x_i \sim Exp(\lambda)$ $y = \sum x_i \sim Gamma(n, 1/\lambda)$ $y$ $E[y^2]$ $Var[y] = E[y^2] - E[y]^2$ $E[y^2] = Var[y] + E[y]^2$ $E[y^2] = n/\lambda^2 + n^2/\lambda^2 = n(1+n)/\lambda^2$

— Wolfgang
fuente

Gracias. También se proporcionó una forma muy ordenada de responder la pregunta (que conduce a la misma respuesta) en math.stackexchange (enlace anterior en la pregunta) hace unos minutos.

— Wolfgang el

La respuesta matemática calcula las integrales utilizando la linealidad de la expectativa. De alguna manera es más simple. Pero me gusta su solución porque explota el conocimiento estadístico : porque sabe que una suma de variables exponenciales independientes tiene una distribución Gamma, ya está.

— whuber

Lo disfruté bastante y de ninguna manera soy estadístico o matemático.

— Kortuk

Respuesta muy elegante.

— Cyrus S

@Dilip El matemático tiende a ver esta pregunta como una pregunta integral y procede directamente a integrarla. El estadístico lo reexpresa en términos de cantidades estadísticas familiares, como la varianza, y relaciones estadísticas familiares, como que el Exponencial es Gamma y la familia Gamma está cerrada por convolución. Las respuestas son las mismas, pero los enfoques son completamente diferentes. Luego está la cuestión de lo que realmente significa "hacer una integración". Por ejemplo, esta integral complicada se realiza puramente algebraicamente.

— whuber

La respuesta anterior es muy agradable y responde completamente a la pregunta, pero, en cambio, proporcionaré una fórmula general para el cuadrado esperado de una suma y la aplicaré al ejemplo específico mencionado aquí.

Para cualquier conjunto de constantes es un hecho que $a_1, ..., a_n$

{(\sum_{i = 1}^{n} a_{i})}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i} a_{j}

$\left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i} a_{j}$

Esto es cierto por la propiedad distributiva y queda claro cuando considera lo que está haciendo cuando calcula a mano. $(a_1 + ... + a_n) \cdot (a_1 + ... + a_n)$

Por lo tanto, para una muestra de variables aleatorias , independientemente de las distribuciones, $X_1, ..., X_n$

E ({[\sum_{i = 1}^{n} X_{i}]}^{2}) = E (\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{i} X_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} E (X_{i} X_{j})

$E \left( \left[ \sum_{i=1}^{n} X_i \right]^2 \right) = E \left( \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_i X_j \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j)$

siempre que existan estas expectativas.

En el ejemplo del problema, son variables aleatorias iid , lo que nos dice que y para cada . Por independencia, para , tenemos $X_1, ..., X_n$ ${\rm exponential}(\lambda)$ $E(X_{i}) = 1/\lambda$ ${\rm var}(X_i) = 1/\lambda^2$ $i$ $i \neq j$

E (X_{i} X_{j}) = E (X_{i}) \cdot E (X_{j}) = \frac{1}{λ^{2}}

$E(X_i X_j) = E(X_i) \cdot E(X_j) = \frac{1}{\lambda^2}$

Hay de estos términos en la suma. Cuando , tenemos $n^2 - n$ $i = j$

E (X_{i} X_{j}) = E (X_{i}^{2}) = v a r (X_{i}) + E (X_{i})^{2} = \frac{2}{λ^{2}}

$E(X_i X_j) = E(X_{i}^{2}) = {\rm var}(X_{i}) + E(X_{i})^2 = \frac{2}{\lambda^2}$

y hay de estos términos en la suma. Por lo tanto, usando la fórmula anterior, $n$

E {(\sum_{i = 1}^{n} X_{i})}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} E (X_{i} X_{j}) = (n^{2} - n) \cdot \frac{1}{λ^{2}} + n \cdot \frac{2}{λ^{2}} = \frac{n^{2} + n}{λ^{2}}

$E \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j) = (n^2 - n)\cdot\frac{1}{\lambda^2} + n \cdot \frac{2}{\lambda^2} = \frac{n^2 + n}{\lambda^2}$

es tu respuesta

— Macro
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Este problema es solo un caso especial del problema mucho más general de 'momentos de momentos' que generalmente se definen en términos de notación de suma de potencia. En particular, en notación de suma de potencia:

s_{1} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$s_1 = \sum_{i=1}^{n} X_i$

Luego, independientemente de la distribución , el póster original busca (siempre que existan los momentos). Dado que el operador de expectativas es solo el primer Momento sin procesar, la solución se da en el software mathStatica por: $E[s_1^2]$

[El '___ToRaw' significa que queremos que la solución se presente en términos de momentos crudos de la población (en lugar de decir momentos centrales o acumulativos). ]

Finalmente, si ~ Exponencial ( ) con pdf : $X$ $\lambda$ $f(x)$

f = Exp[-x/λ]/λ;      domain[f] = {x, 0, ∞} && {λ > 0};

entonces podemos reemplazar los momentos en la solución general con los valores reales para una variable aleatoria exponencial, así: $\mu_i$ sol

Todo listo.

PD La razón por la que las otras soluciones publicadas aquí producen una respuesta con en el denominador en lugar del numerador es, por supuesto, porque están usando una parametrización diferente de la distribución exponencial. Como el OP no indicó qué versión estaba usando, decidí usar la definición de libro de texto de teoría de distribución estándar Johnson Kotz et al ... solo para equilibrar las cosas :) $\lambda^2$

— lobos
fuente