No hay una forma cerrada, pero puedes hacerlo numéricamente.
Como ejemplo concreto, considere dos gaussianos con los siguientes parámetros
μ1= ⎛⎝⎜- 1- 1⎞⎠⎟, μ2=⎛⎝⎜11⎞⎠⎟
Σ1= ⎛⎝⎜21 / 21 / 22⎞⎠⎟, Σ 2= ⎛⎝⎜10 00 01⎞⎠⎟
El límite del clasificador óptimo de Bayes corresponderá al punto donde dos densidades son iguales
Dado que su clasificador elegirá la clase más probable en cada punto, debe integrarse sobre la densidad que no es la más alta para cada punto. Para el problema anterior, corresponde a volúmenes de las siguientes regiones
Puede integrar dos piezas por separado utilizando algún paquete de integración numérica. Para el problema anterior, obtengo el 0.253579
siguiente código de Mathematica
dens1[x_, y_] = PDF[MultinormalDistribution[{-1, -1}, {{2, 1/2}, {1/2, 2}}], {x, y}];
dens2[x_, y_] = PDF[MultinormalDistribution[{1, 1}, {{1, 0}, {0, 1}}], {x, y}];
piece1 = NIntegrate[dens2[x, y] Boole[dens1[x, y] > dens2[x, y]], {x, -Infinity, Infinity}, {y, -Infinity, Infinity}];
piece2 = NIntegrate[dens1[x, y] Boole[dens2[x, y] > dens1[x, y]], {x, -Infinity, Infinity}, {y, -Infinity, Infinity}];
piece1 + piece2