Si un partido de tenis fuera un solo set grande, ¿cuántos juegos darían la misma precisión?

El tenis tiene un peculiar sistema de puntuación de tres niveles, y me pregunto si esto tiene algún beneficio estadístico, desde el punto de vista de un partido como un experimento para determinar el mejor jugador.

Para aquellos que no están familiarizados, en las reglas normales, un juego se gana por el primero a 4 puntos, siempre y cuando tenga una ventaja de 2 puntos (es decir, si es 4-2 gana, pero 4-3 necesita 1 punto más, y mantenga ir hasta que un jugador esté 2 adelante).

Un set es entonces una colección de juegos, y un set se gana por el primero a 6, nuevamente teniendo que ganar por 2, excepto que esta vez se juega un juego especial de desempate en lugar de continuar (excepto el set final de Wimbledon, etc.) ..)

El partido se gana por primero a 2 o 3 sets dependiendo de la competencia.

Ahora, el tenis también es extraño porque los juegos son injustos. Para cualquier punto dado, el servidor tiene una gran ventaja, por lo tanto, cada juego alterna el servidor.

En un juego de desempate, el servicio se alterna después de cada punto, y es el primero con 7 puntos, nuevamente con una ventaja de 2 puntos.

Supongamos que el jugador A tiene una probabilidad de ganar el punto en su servicio de y al recibir . $p_s$ $p_r$

La pregunta es esta, supongamos que

A) acabo de jugar al tenis como un gran partido de "lo mejor de los N juegos", ¿cuántos juegos darían la misma precisión que el mejor tenis normal de 5 sets?

B) solo jugué al tenis como un gran juego de desempate, ¿cuántos puntos darían la misma precisión que el mejor tenis normal de 5 sets?

Obviamente, estas respuestas dependerán de los valores y , por lo que también sería bueno saber $p_s$ $p_r$

C) ¿Cuál es el número esperado de juegos y puntos jugados en el tenis normal, suponiendo , constantes $p_s$ $p_r$

Definición de "precisión"

Si suponemos que la habilidad de ambos jugadores se mantiene constante, entonces si jugaron por un período de tiempo infinito, entonces uno u otro jugador ganaría casi con seguridad, independientemente del formato de juego. Este jugador es el ganador "correcto". Estoy bastante seguro de que el ganador correcto es el jugador para quien . $p_r+p_s > 1$

Un mejor formato de juego es aquel que produce el ganador correcto con mayor frecuencia, por el mismo número de puntos jugados, o por el contrario produce el ganador correcto con la misma probabilidad en pocos puntos jugados.

probability inference games

— Corone
fuente

Solo el quinto set no tiene un desempate en Wimbledon, el Abierto de Australia y el Abierto de Francia. Los primeros 4 sets se juegan con desempates.

— mpiktas

¿Qué quiere decir exactamente con "precisión"? ¿Te refieres a algo como "con qué frecuencia ganará el mejor jugador"? En cualquier caso, necesita cuatro parámetros, no dos; necesitas y para cada jugador, aunque y viceversa. Si algún jugador del club juega un jugador de clase mundial, entonces tal vez , . Creo que la forma más fácil de resolver esto sería a través de algún método informático intensivo. Podrías calcularlo analíticamente, pero los cálculos se volverían intensos.

p_{s}

$p_s$

p_{r}

$p_r$

p 1_{s} = 1 - p 2_{r}

$p1_s = 1 - p2_r$

p 1_{s} = .01

$p1_s = .01$

p 1_{r} = .001

$p1_r = .001$

— Peter Flom - Restablece a Monica

Estaba pensando que la relación entre y la habilidad del jugador podría quedar fuera, ya que solo queremos una comparación entre los métodos de medición. Es decir, para cualquier dada si entonces el jugador 1 debería ganar (es decir, su habilidad promedio para ganar puntos supera el 50%). Un mejor torneo logra esto más a menudo.

p_{s / r}

$p_{s/r}$

p_{s} + p_{r} > 1

$p_s + p_r > 1$

— Corone

Por "misma precisión", ¿quiere decir que la probabilidad general de que un jugador dado gane es la misma en cualquier formato (para un y fijo ?

p_{s}

$p_s$

p_{r}

$p_r$

— Michael McGowan

Si juegas a puntos, donde tienes que ganar por , puedes asumir que los jugadores juegan 6 puntos. Si ningún jugador gana por , entonces el puntaje está empatado , y luego juegas pares de puntos hasta que un jugador gana ambos. Esto significa que la posibilidad de ganar un juego a puntos, cuando tu posibilidad de ganar cada punto es , es $4$ $2$ $2$ $3-3$ $4$ $p$

p^{6} + 6 p^{5} (1 - p) + 15 p^{4} (1 - p)^{2} + 20 p^{3} (1 - p)^{3} \frac{p^{2}}{p^{2} + (1 - p)^{2}}

$p^6 + 6p^5(1-p) + 15p^4(1-p)^2 + 20 p^3(1-p)^3 \frac{p^2}{p^2 + (1-p)^2}$ .

En el juego de hombres de nivel superior, podría ser de aproximadamente para el servidor. (Sería si los hombres no se relajaran en el segundo servicio). Según esta fórmula, la posibilidad de mantener el servicio es de aproximadamente . $p$ $0.65$ $0.66$ $82.96\%$

Supongamos que estás jugando un desempate a puntos. Puede suponer que los puntos se juegan en parejas donde cada jugador sirve uno de cada pareja. Quien sirve primero no importa. Puedes asumir que los jugadores juegan puntos. Si están empatados en ese punto, juegan par hasta que un jugador gana ambos pares, lo que significa que la posibilidad condicional de ganar es $7$ $12$ $p_sp_r/(p_sp_r + (1-p_s)(1-p_r))$ $7$

6 p_{r}^{6} p s + 90 p_{r}^{5} p_{s}^{2} - 105 p_{r}^{6} p_{s}^{2} + 300 p_{r}^{4} p_{s}^{3} - 840 p_{r}^{5} p_{s}^{3} + 560 p_{r}^{6} p_{s}^{3} + 300 p_{r}^{3} p_{s}^{4} - 1575 p_{r}^{4} p_{s}^{4} + 2520 p_{r}^{5} p_{s}^{4} - 1260 p_{r}^{6} p_{s}^{4} + 90 p_{r}^{2} p_{s}^{5} - 840 p_{r}^{3} p_{s}^{5} + 2520 p_{r}^{4} p_{s}^{5} - 3024 p_{r}^{5} p_{s}^{5} + 1260 p_{r}^{6} p_{s}^{5} + 6 p_{r} p_{s}^{6} - 105 p_{r}^{2} p_{s}^{6} + 560 p_{r}^{3} p_{s}^{6} - 1260 p_{r}^{4} p_{s}^{6} + 1260 p_{r}^{5} p_{s}^{6} - 462 p_{r}^{6} p_{s}^{6} + \frac{p_{r} p_{s}}{p_{r} p_{s} + (1 - p_{r}) (1 - p_{s})} (p_{r}^{6} + 36 p_{r}^{5} p_{s} - 42 p_{r}^{6} p_{s} + 225 p_{r}^{4} p_{s}^{2} - 630 p_{r}^{5} p_{s}^{2} + 420 p_{r}^{6} p_{s}^{2} + 400 p_{r}^{3} p_{s}^{3} - 2100 p_{r}^{4} p_{s}^{3} + 3360 p_{r}^{5} p_{s}^{3} - 1680 p_{r}^{6} p_{s}^{3} + 225 p_{r}^{2} p_{s}^{4} - 2100 p_{r}^{3} p_{s}^{4} + 6300 p_{r}^{4} p_{s}^{4} - 7560 p_{r}^{5} p_{s}^{4} + 3150 p_{r}^{6} p_{s}^{4} + 36 p_{r} p_{s}^{5} - 630 p_{r}^{2} p_{s}^{5} + 3360 p_{r}^{3} p_{s}^{5} - 7560 p_{r}^{4} p_{s}^{5} + 7560 p_{r}^{5} p_{s}^{5} - 2772 p_{r}^{6} p_{s}^{5} + p_{s}^{6} - 42 p_{r} p_{s}^{6} + 420 p_{r}^{2} p_{s}^{6} - 1680 p_{r}^{3} p_{s}^{6} + 3150 p_{r}^{4} p_{s}^{6} - 2772 p_{r}^{5} p_{s}^{6} + 924 p_{r}^{6} p_{s}^{6})

$6 p_r^6 ps + 90 p_r^5 p_s^2 - 105 p_r^6 p_s^2 + 300 p_r^4 p_s^3 - 840 p_r^5 p_s^3 + 560 p_r^6 p_s^3 + 300 p_r^3 p_s^4 - 1575 p_r^4 p_s^4 + 2520 p_r^5 p_s^4 - 1260 p_r^6 p_s^4 + 90 p_r^2 p_s^5 - 840 p_r^3 p_s^5 + 2520 p_r^4 p_s^5 - 3024 p_r^5 p_s^5 + 1260 p_r^6 p_s^5 + 6 p_r p_s^6 - 105 p_r^2 p_s^6 + 560 p_r^3 p_s^6 - 1260 p_r^4 p_s^6 + 1260 p_r^5 p_s^6 - 462 p_r^6 p_s^6 + \frac{p_r p_s}{p_r p_s + (1-p_r)(1-p_s)}(p_r^6 + 36 p_r^5 p_s - 42 p_r^6 p_s + 225 p_r^4 p_s^2 - 630 p_r^5 p_s^2 + 420 p_r^6 p_s^2 + 400 p_r^3 p_s^3 - 2100 p_r^4 p_s^3 + 3360 p_r^5 p_s^3 - 1680 p_r^6 p_s^3 + 225 p_r^2 p_s^4 - 2100 p_r^3 p_s^4 + 6300 p_r^4 p_s^4 - 7560 p_r^5 p_s^4 + 3150 p_r^6 p_s^4 + 36 p_r p_s^5 - 630 p_r^2 p_s^5 + 3360 p_r^3 p_s^5 - 7560 p_r^4 p_s^5 + 7560 p_r^5 p_s^5 - 2772 p_r^6 p_s^5 + p_s^6 - 42 p_r p_s^6 + 420 p_r^2 p_s^6 - 1680 p_r^3 p_s^6 + 3150 p_r^4 p_s^6 - 2772 p_r^5 p_s^6 + 924 p_r^6 p_s^6)$

$p_s=0.65, p_r=0.36$ $51.67\%$

$6$ $10$ $5-5$ $2$ $p_h$ $p_b$ $6$ $7$ $p_s$ $p_h$ $p_r$ $p_b$

$p_s=0.65$ $p_r=0.36$ $53.59\%$

$p_s=0.65$ $p_r=0.36$ $53.30\%$

$5$ $p_s=0.65$ $p_r=0.36$ $56.28\%$

$p_s=0.65, p_r=0.36$ $24$ $56.22\%$ $25$ $56.34\%$ $23$ $24$ $113$ $56.27\%$ $114$ $56.29\%$

Esto sugiere que jugar un set gigante no es más eficiente que un mejor de 5 partidos, pero jugar un desempate gigante sería más eficiente, al menos para competidores muy igualados que tienen una ventaja al servir.

$51\%$

$13$ $57.51\%$ $45$ $4.115$ $4.115 \times 21.96 = 90.37$ $45$ $82.35$

$13$ $29$ $29$

$13-7 ~~ 12-13 ~~ 11-13$ $36$ $33$ $36$ $33$ colas, tienes evidencia de que las caras son más probables que las colas, no que las colas son más probables que las caras. Entonces, el mejor de tres coincidencias es ineficiente porque desperdicia información. Una serie de partidos requiere más datos en promedio porque a veces otorga la victoria al jugador que ha ganado menos juegos.

— Douglas Zare
fuente

¡Absolutamente increíble! ¿Existe una insignia para la mayor expresión de látex? Sin embargo, no entiendo la conclusión: ¿seguramente 25 juegos son menos de lo que se suele jugar? Si va al quinto set, juegas al menos 30 juegos, e incluso una victoria 6: 4 6: 4 6: 4 es de 30 juegos.

— Corone

25

$25$

25 - 20

$25-20$

45

$45$

Ah sí, lo siento, tiene sentido. Gran respuesta.

— Corone

L A T E X

$\LaTeX$

Este artículo tiene un análisis de los desempates, y si favorecen servidores más fuertes: heavytopspin.com/2012/10/30/the-structural-biases-of-tiebreaks

— Douglas Zare