¿Son los grados de libertad para la prueba de Welch siempre menores que el DF de la prueba combinada?

Estoy impartiendo un curso sobre estadísticas básicas y estamos haciendo la prueba t para dos muestras independientes con variaciones desiguales (prueba de Welch). En los ejemplos que he visto, los grados ajustados de libertad utilizados por la prueba de Welch son siempre menores o iguales que . $n_1+n_2-2$

Este es siempre el caso? ¿La prueba de Welch siempre reduce (o deja sin cambios) los grados de libertad de la prueba t agrupada (varianzas iguales)?

Y sobre el mismo tema, si las desviaciones estándar de la muestra son iguales, ¿se reducen los DF de la prueba de Welch a ? Miré la fórmula, pero el álgebra se volvió desordenada.$n_1+n_2-2$

Si.

La prueba de Welch utiliza el ajuste Satterthaite-Welch para los grados de libertad: Como puede ver, es bastante feo (y de hecho es aproximado numéricamente), pero requiere que . Aquí hay una referencia: Howell (2002, p. 214) afirma que, " está delimitado por el menor de y en un extremo y por en el otro".

$$df'=\frac{\left(\frac{s^2_1}{n_1}+\frac{s^2_2}{n_2}\right)^2}{\frac{\left(\frac{s^2_1}{n_1}\right)^2}{n_1-1}+\frac{\left(\frac{s^2_2}{n_2}\right)^2}{n_2-1}}$$ $df'<df$$df'$$n_1-1$$n_2-1$$n_1+n_2-2~df$

Aquí están las referencias 'oficiales' (tenga en cuenta que el ajuste anterior, el que se usa típicamente, se deriva en el segundo documento):

• Welch, BL (1938). "La importancia de la diferencia entre dos medios cuando las variaciones de la población son desiguales". Biometrika, 29, 3/4 , págs. 350–62 .
• Satterthwaite, FE (1946). "Una distribución aproximada de estimaciones de componentes de varianza". Biometrics Bulletin, 2, 6 , págs. 110-114 .
• Welch, BL (1947). "La generalización del problema del" Estudiante "cuando hay varias variaciones de población diferentes". Biometrika, 34, 1/2 , págs. 28–35 .

(Buscar en Google puede generar versiones no compiladas de estos).