Expectativa condicional de variable aleatoria exponencial


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Para una variable aleatoria ( ) Siento intuitivamente que debería ser igual a ya que por la propiedad sin memoria la distribución de es la misma que la de pero desplazada a la derecha por .XExp(λ)E[X]=1λE[X|X>x]x+E[X]X|X>xXx

Sin embargo, estoy luchando por usar la propiedad sin memoria para dar una prueba concreta. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Gracias.


Sugerencia: es la expresión matemática correspondiente a "desplazado a la derecha por ", por lo queAhora haga un cambio de variables en la integral de la derecha. fX|X>a(x)=fX(xa)a
E[XX>a]=xfXX>a(x)dx=xfX(xa)dx.
Dilip Sarwate

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Tenga en cuenta que es una distribución truncada truncada debajo de " ". Especialmente es una distribución exponencial desplazada y la exponencial desplazada no tiene propiedad sin memoria . X|X>xx
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Respuestas:


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X | X > x X x por la propiedad sin memoria la distribución de es la misma que la de pero desplazada a la derecha por .X|X>xXx

Deje denota la función de densidad de probabilidad (pdf) de . Entonces, la formulación matemática de lo que usted dice correctamente es decir, el pdf condicional de dado que es el mismo que el de pero desplazado a la derecha por es que . Por lo tanto, , el valor esperado de dado que es fX(t)XX { X > x } X x - f X X > x ( t ) = f X ( t - x ) E [ X X > x ] X { X > x } E [ X X > x ]X{X>x}Xx fXX>x(t)=fX(tx)E[XX>x]X{X>x}

E[XX>x]=tfXX>x(t)dt=tfX(tx)dt=(x+u)fX(u)duon substituting u=tx=x+E[X].
Tenga en cuenta que no hemos usado explícitamente la densidad de en el cálculo, y ni siquiera necesitamos integrar explícitamente si simplemente recordamos que (i) el área debajo de un pdf es y (ii) la definición del valor esperado de una variable aleatoria continua en términos de su pdf.X11


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Para , el evento tiene probabilidad . Por lo tanto, pero (usando el truco de Feynman, vindicado por el teorema de convergencia dominada, porque es divertido) { X > x } P { X > x } = 1 - F X ( x ) = e - λ x > 0x>0{X>x}P{X>x}=1FX(x)=eλx>0

E[XX>x]=E[XI{X>x}]P{X>x},
E[XI{X>x}]=xtλeλtdt=()
()=λxddλ(eλt)dt=λddλxeλtdt
=λddλ(1λxλeλtdt)=λddλ(1λ(1FX(x)))
=λddλ(eλxλ)=(1λ+x)eλx,
que da el resultado deseado
E[XX>x]=1λ+x=E[X]+x.

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Aunque el uso del truco de Feynman es interesante, ¿por qué no integrarse por partes para obtener
xtλeλtdt=teλt|x+xeλtdt=(x+1λ)eλx?
Dilip Sarwate
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