Acabo de jugar un juego con mis hijos que básicamente se reduce a: quien gane cada número al menos una vez en un dado de 6 lados gana.
Finalmente gané, y los otros terminaron 1-2 turnos después. Ahora me pregunto: ¿cuál es la expectativa de la duración del juego?
Sé que la expectativa del número de lanzamientos hasta que llegue a un número específico es .
Sin embargo, tengo dos preguntas:
- ¿Cuántas veces tienes que tirar un dado de seis lados hasta que obtengas todos los números al menos una vez?
- Entre cuatro pruebas independientes (es decir, con cuatro jugadores), ¿cuál es la expectativa del número máximo de tiradas necesarias? [nota: es máximo, no mínimo, porque a su edad, se trata más de terminar que de llegar primero para mis hijos]
Puedo simular el resultado, pero me pregunto cómo haría para calcularlo analíticamente.
Aquí hay una simulación de Monte Carlo en Matlab
mx=zeros(1000000,1);
for i=1:1000000,
%# assume it's never going to take us >100 rolls
r=randi(6,100,1);
%# since R2013a, unique returns the first occurrence
%# for earlier versions, take the minimum of x
%# and subtract it from the total array length
[~,x]=unique(r);
mx(i,1)=max(x);
end
%# make sure we haven't violated an assumption
assert(numel(x)==6)
%# find the expected value for the coupon collector problem
expectationForOneRun = mean(mx)
%# find the expected number of rolls as a maximum of four independent players
maxExpectationForFourRuns = mean( max( reshape( mx, 4, []), [], 1) )
expectationForOneRun =
14.7014 (SEM 0.006)
maxExpectationForFourRuns =
21.4815 (SEM 0.01)