Diferencia de variables aleatorias gamma

Dadas dos variables aleatorias independientes $X\sim \mathrm{Gamma}(\alpha_X,\beta_X)$ e $Y\sim \mathrm{Gamma}(\alpha_Y,\beta_Y)$ , ¿cuál es la distribución de la diferencia, es decir, $D=X-Y$ ?

Si el resultado no es conocido, ¿cómo haría para obtener el resultado?

distributions gamma-distribution

— FBC
fuente

Creo que puede ser relevante: stats.stackexchange.com/q/2035/7071

— Dimitriy V. Masterov

Desafortunadamente no es relevante, esa publicación considera la suma ponderada de las variables aleatorias Gamma donde los pesos son estrictamente positivos. En mi caso, los pesos serían +1 y -1 respectivamente.

— FBC

El artículo de Moschopoulos afirma que el método puede extenderse a combinaciones lineales, pero tiene razón en que el cambio de escala parece estar restringido a pesos mayores que 0. Estoy corregido.

— Dimitriy V. Masterov

Hay pocas esperanzas de derivar algo simple o en forma cerrada a menos que los dos factores de escala sean los mismos.

— whuber

Solo una pequeña observación: para el caso especial de rvs distribuidos exponencialmente con el mismo parámetro, el resultado es Laplace ( en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution ).

— Ric

Esbozaré cómo se puede abordar el problema y declararé cuál creo que será el resultado final para el caso especial cuando los parámetros de forma son enteros, pero no completaré los detalles.

Primero, tenga en cuenta que toma valores en y por lo tanto tiene soporte . $X-Y$ $(-\infty,\infty)$ $f_{X-Y}(z)$ $(-\infty,\infty)$
En segundo lugar, a partir de los resultados estándar, la densidad de la suma de dos variables aleatorias continuas independientes es la convolución de sus densidades, es decir, y que la densidad de la variable aleatoria es , deduzca que
$f_{X + Y} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (z - x) d x$ $f_{X+Y}(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(z-x)\,\mathrm dx$ $-Y$ $f_{-Y}(\alpha) = f_Y(-\alpha)$ $f_{X - Y} (z) = f_{X + (- Y)} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{- Y} (z - x) d x = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (x - z) d x .$ $f_{X-Y}(z) = f_{X+(-Y)}(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_{-Y}(z-x)\,\mathrm dx = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(x-z)\,\mathrm dx.$
Tercero, para las variables aleatorias no negativas e , tenga en cuenta que la expresión anterior se simplifica a $X$ $Y$
$f_{X - Y} (z) = {\begin{cases} \int_{0}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (x - z) d x, & z < 0, \\ \int_{0}^{\infty} f_{X} (y + z) f_{Y} (y) d y, & z > 0. \end{cases}$ $f_{X-Y}(z) = \begin{cases} \int_0^\infty f_X(x)f_Y(x-z)\,\mathrm dx, & z < 0,\\ \int_{0}^\infty f_X(y+z)f_Y(y)\,\mathrm dy, & z > 0. \end{cases}$
Finalmente, usando la parametrización para significar una variable aleatoria con densidad $\Gamma(s,\lambda)$ , y con e $\lambda\frac{(\lambda x)^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda x)\mathbf 1_{x>0}(x)$ $X \sim \Gamma(s,\lambda)$ variables aleatorias, tenemos para que $Y \sim \Gamma(t,\mu)$ $z > 0$ Del mismo modo, para,
$\begin{aligned} f_{X - Y} (z) & = \int_{0}^{\infty} λ \frac{(λ (y + z))^{s - 1}}{Γ (s)} \exp (- λ (y + z)) μ \frac{(μ y)^{t - 1}}{Γ (t)} \exp (- μ y) d y \\ (1) & = \exp (- λ z) \int_{0}^{\infty} p (y, z) \exp (- (λ + μ) y) d y . \end{aligned}$ $\begin{align*}f_{X-Y}(z) &= \int_{0}^\infty \lambda\frac{(\lambda (y+z))^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda (y+z)) \mu\frac{(\mu y)^{t-1}}{\Gamma(t)}\exp(-\mu y)\,\mathrm dy\\ &= \exp(-\lambda z) \int_0^\infty p(y,z)\exp(-(\lambda+\mu)y)\,\mathrm dy.\tag{1} \end{align*}$ $z < 0$ $\begin{aligned} f_{X - Y} (z) & = \int_{0}^{\infty} λ \frac{(λ x)^{s - 1}}{Γ (s)} \exp (- λ x) μ \frac{(μ (x - z))^{t - 1}}{Γ (t)} \exp (- μ (x - z)) d x \\ (2) & = \exp (μ z) \int_{0}^{\infty} q (x, z) \exp (- (λ + μ) x) d x . \end{aligned}$ $\begin{align*}f_{X-Y}(z) &= \int_{0}^\infty \lambda\frac{(\lambda x)^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda x) \mu\frac{(\mu (x-z))^{t-1}}{\Gamma(t)}\exp(-\mu (x-z))\,\mathrm dx\\ &= \exp(\mu z) \int_0^\infty q(x,z)\exp(-(\lambda+\mu)x)\,\mathrm dx.\tag{2} \end{align*}$

Estas integrales no son fáciles de evaluar, pero para el caso especial , Gradshteyn y Ryzhik, Tablas de integrales, series y productos, Sección 3.383, enumera el valor de $s = t$ en términos de funciones polinomiales, exponenciales y de Bessel de y esto puede usarse para escribir expresiones explícitas para .

\int_{0}^{\infty} x^{s - 1} (x + β)^{s - 1} \exp (- ν x) d x

$\int_0^\infty x^{s-1}(x+\beta)^{s-1}\exp(-\nu x)\,\mathrm dx$

β

$\beta$

f_{X - Y} (z)

$f_{X-Y}(z)$

$s$ $t$ $p(y,z)$ $y$ $z$ $(s+t-2, s-1)$ $q(x,z)$ $x$ $z$ $(s+t-2,t-1)$

$z > 0$ $(1)$ $s$ $y$ $1, z, z^2, \ldots z^{s-1}$ $X-Y$ $\Gamma(1,\lambda), \Gamma(2,\lambda), \cdots, \Gamma(s,\lambda)$ $z > 0$ $t$
$z < 0$ $X-Y$ $\Gamma(1,\mu), \Gamma(2,\mu), \cdots, \Gamma(t,\mu)$ $(\mu|z|)^{k-1}\exp(\mu z)$ $(\mu z)^{k-1}\exp(-\mu z)$ $s$

— Dilip Sarwate
fuente

+1: Habiendo examinado este problema antes, encuentro esta respuesta fascinante.

— Neil G

Voy a aceptar esta respuesta aunque parezca que no hay una solución de forma cerrada. Está lo más cerca posible, ¡gracias!

— FBC

f_{- Y} (α) \neq f_{Y} (- α)

$f_{-Y}(\alpha) ≠ f_{Y}(-\alpha)$

f_{- Y} (α) = f_{Y} (- α)

$f_{-Y}(\alpha) = f_{Y}(-\alpha)$

P {Y > 0} = 1

$P\{Y > 0\} = 1$

- Y

$-Y$

0

$0$

1

$1$

Y

$Y$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

α < 0

$\alpha<0$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

0

$0$

α < 0

$\alpha<0$

f_{- Y} (α) = f_{Y} (α) = 0

$f_{-Y}(\alpha)=f_Y(\alpha)=0$

α

$\alpha$

Y

$Y$

Y

$Y$

-

$-$

-

$-$

f_{Y}

$f_Y$

R^{+}

$\mathbb R^+$

— Dilip Sarwate

Que yo sepa, la distribución de la diferencia de dos gamma rv independientes fue estudiada por primera vez por Mathai en 1993. Derivó una solución de forma cerrada. No reproduciré su trabajo aquí. En cambio, te señalaré la fuente original. La solución de forma cerrada se puede encontrar en la página 241 como teorema 2.1 en su artículo sobre Laplacianidad generalizada no central de formas cuadráticas en variables normales .

— Nathan Crock
fuente