Distinción conceptual entre heteroscedasticidad y no estacionariedad

Tengo problemas para distinguir entre los conceptos de escedasticidad y estacionariedad. Según tengo entendido, la heterocedasticidad es una variabilidad diferente en las subpoblaciones y la no estacionariedad es una media / varianza cambiante a lo largo del tiempo.

Si esta es una comprensión correcta (aunque simplista), ¿la no estacionariedad es simplemente un caso específico de heterocedasticidad en el tiempo?

Para dar definiciones precisas, dejemos que sean variables aleatorias de valor real.$X_1, \ldots, X_n$

La estacionariedad generalmente solo se define si pensamos en el índice de las variables como el tiempo . En este caso, la secuencia de variables aleatorias es estacionaria de tiene la misma distribución que X 2 , ... , X n . Esto implica, en particular, que X i para i = 1 , ... , n todos tienen la misma distribución marginal y, por lo tanto, la misma media marginal y varianza (dado que tienen un segundo momento finito).$X_1, \ldots, X_{n-1}$$X_2, \ldots, X_n$$X_i$$i = 1, \ldots, n$

El significado de la heterocedasticidad puede depender del contexto. Si las variaciones marginales de la cambian con i (incluso si la media es constante), las variables aleatorias se denominan heterocedastic en el sentido de no ser homoscedastic.$X_i$$i$

En el análisis de regresión generalmente consideramos la varianza de la respuesta condicionalmente en los regresores, y definimos la heterocedasticidad como una varianza condicional no constante.

En el análisis de series de tiempo, donde la terminología heteroscedasticidad condicional es común, el interés está típicamente en la varianza de condicionalmente en X k - 1 , ... , X 1 . Si esta varianza condicional no es constante, tenemos heteroscedasticidad condicional. El modelo ARCH (heteroscedasticidad condicional autorregresiva) es el ejemplo más famoso de un modelo de series temporales estacionarias con varianza condicional no constante.$X_k$$X_{k-1}, \ldots, X_1$

La heterocedasticidad (heteroscedasticidad condicional en particular) no implica no estacionariedad en general.

La estacionariedad es importante por varias razones. Una consecuencia estadística simple es que el promedio

La importancia de la heterocedasticidad (u homocedasticidad) está, desde un punto de vista estadístico, relacionada con la evaluación de la incertidumbre estadística, por ejemplo, el cálculo de los intervalos de confianza. Si los cálculos se llevan a cabo bajo un supuesto de homocedasticidad mientras los datos realmente muestran heteroscedasticidad, los intervalos de confianza resultantes pueden ser engañosos.

Una serie de tiempo es estacionaria si todas sus propiedades estadísticas no dependen del origen del tiempo. Si no se cumple este requisito, la serie temporal no es estacionaria.

Incluso una serie temporal estacionaria no se puede describir sobre la base de un solo registro de muestra. Sus propiedades estadísticas deben analizarse promediando el conjunto de registros de muestra en diferentes orígenes temporales.

Si las propiedades estadísticas son las mismas para cualquier registro de muestra individual y para el caso en que se determinan mediante el promedio de conjunto, la serie temporal es ergódica.

Como las propiedades estadísticas de una serie de tiempo heterocedáctica dependen del tiempo, no es estacionaria y, por supuesto, no es ergódica. Sus propiedades determinadas para un solo registro de muestra no pueden extenderse a su comportamiento pasado y futuro.

Por cierto, el análisis de correlación / regresión no se puede aplicar a las series de tiempo, ya que la dependencia entre ellas (la función de coherencia) depende de la frecuencia y se puede caracterizar a través de ecuaciones de ecuaciones de diferencia estocástica (multivariante) (dominio del tiempo) o las funciones de respuesta de frecuencia (dominio de la frecuencia).

La extensión del análisis de regresión desarrollado para variables aleatorias a series temporales es errónea (por ejemplo, ver Bendat y Piersol, 2010; Box et al., 2015).

Hay 3 grados de papelería. La forma débil requiere media y la varianza se mantiene constante. Esto significa que 3 definiciones estacionarias son requisitos más estrictos que la heterocedasticidad porque la heterocedasticidad significa una variación constante, sin referencia a la media.

Un proceso puede tener heterocedasticidad. Pero si su media no es constante, entonces el proceso no es (débilmente) estacionario.

Un proceso estacionario (denotémoslo con 'S') implica homocedasticidad (denotémoslo con 'H'). Entonces S -> H.

Naturalmente, su contraposición también es cierta . Entonces H '-> S', es decir, la no homocedasticidad implica no estacionaria.

Pero la inversión y la negación no son ciertas . En otras palabras:

"No estacionario implica no homocedasticidad" no es cierto.

"Existe un proceso estacionario que no es homoscedasticidad" no es cierto.