¿Cómo encontrar la distribución marginal de la distribución conjunta con dependencia multivariable?

Uno de los problemas en mi libro de texto se plantea de la siguiente manera. Un vector continuo estocástico bidimensional tiene la siguiente función de densidad:

f_{X, Y} (x, y) = {\begin{cases} 15 x y^{2} & if 0 < x < 1 and 0 < y < x \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} 15xy^2 & \text{if 0 < x < 1 and 0 < y < x}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$

Demuestre que las funciones de densidad marginal y son: $f_X$ $f_Y$

f_{X} (x) = {\begin{cases} 5 x^{4} & if 0 < x < 1 \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{X}(x)= \begin{cases} 5x^4 & \text{if 0 < x < 1}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$

f_{Y} (y) = {\begin{cases} \frac{15}{2} y^{2} (1 - y^{2}) & if 0 < y < 1 \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{Y}(y)= \begin{cases} \scriptsize{\frac{15}{2}}\normalsize y^2(1-y^2) & \text{if 0 < y < 1}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$

Entiendo cómo se calcula la función de densidad , integrando de a con respecto a . Sin embargo, estoy totalmente perdido en , ¿de dónde viene el ? Si integro de a con respecto a entonces solo obtengo , y ¿por qué el rango es ? $f_X$ $f_{X,Y}$ $0$ $x$ $y$ $f_Y$ $(1-y^2)$ $0$ $1$ $x$ $\scriptsize{\frac{15}{2}}\normalsize y^2$ $0 < y < 1$

Graficamos el soporte para , todos los valores donde son de color azul: $X,Y$ $f_{X,Y}>0$

El soporte para $ X, Y $

— soren.qvist
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Podría ayudarlo a dibujar una imagen del soporte de (que es el conjunto de para el que ). Eso debería responder de inmediato a algunas de sus preguntas.

(X, Y)

$(X,Y)$

(x, y)

$(x,y)$

f (x, y) \neq 0

$f(x,y)\ne 0$

— whuber

@whuber Bien, así que graficaba el soporte y creo que entiendo por qué es 0 <y <1, es porque x solo se define en 0 <x <1 y dado que 0 <y <x, naturalmente, tenemos que y es solo definido de 0 a 1, ¿correcto? Pero todavía no entiendo la parte (1-y ^ 2).

— soren.qvist

Sugerencia: La densidad marginal de es la integral de que, para un valor fijo de , , no es cero solo para aquellos satisfacen . Es decir, y ahí es donde parte proviene de.

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

f_{X, Y} (x, y)

$f_{X,Y}(x,y)$

y

$y$

0 < y < 1

$0 < y < 1$

x

$x$

y < x < 1

$y < x < 1$

f_{Y} (y) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y} (x, y) d x = \int_{y}^{1} 15 x y^{2} d x

$f_Y(y) = \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y}(x,y)dx = \int_y^1 15xy^2 dx$

(1 - y^{2})

$(1-y^2)$

— Dilip Sarwate

Gracias por la pista Dilip, me temo que no lo entiendo completamente. ".. para un valor fijo de , , no es cero solo para aquellos satisfacen ". ¿Te refieres al área azul en el gráfico?

y

$y$

0 < y < 1

$0 < y < 1$

x

$x$

y < x < 1

$y<x<1$

— soren.qvist

@ soren.qvist Sí. Me estoy refiriendo al área azul en la tabla. es la integral (área bajo la curva) de una función de que tiene un valor si está entre y (el área azul) y caso contrario. Repita para otros valores fijos de , y observe que cada vez que el valor numérico de resulta ser el mismo número que el obtenido al "enchufar" el valor elegido de en la expresión

f_{Y} (0.4)

$f_Y(0.4)$

x

$x$

(15 (0.4)^{2}) x = 2.4 x

$(15(0.4)^2)x=2.4x$

x

$x$

0.4

$0.4$

1

$1$

0

$0$

y

$y$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

y

$y$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$ como se indica en su hoja de respuestas. Luego, viene el "¡Hola mamá, creo que veo un patrón!" momento y te das cuenta de que es igual a la integral que se muestra.

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

— Dilip Sarwate

$f_{Y}(y)$ $f_{X,Y}(x,y)$ $f_{X,Y}(x,y)$ $X$ $X=y$ $X=1$ $Y=X$ $X=1$

$X=y$ $X=1$

f_{Y} (y) = \int_{y}^{1} f_{X, Y} (x, y) d x = \int_{y}^{1} 15 x y^{2} d x = 15 y^{2} \int_{y}^{1} x d x = 15 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} |_{y}^{1}) = \frac{15}{2} y^{2} (1 - y^{2}) .

$f_{Y}(y)= \int_{y}^{1} f_{X,Y}(x,y) dx= \int_{y}^{1} 15xy^{2} dx=15y^{2}\int_{y}^{1} x dx=15y^{2}\left(\frac{1}{2}x^2\Big|_y^1\right)\\=\frac{15}{2}y^2(1-y^2).$

— usuario3487564
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