Densidad de robots que realizan una caminata aleatoria en un gráfico geométrico aleatorio infinito

Considere un gráfico geométrico aleatorio infinito en el que las ubicaciones de los nodos siguen un proceso de punto de Poisson con densidad y los bordes se colocan entre los nodos que están más cerca que . Por lo tanto, la longitud de los bordes sigue el siguiente PDF: $\rho$ $d$

f (l) = {\begin{cases} \frac{2 l}{d^{2}} l \leq d \\ 0 l > d \end{cases}

$f(l)= \begin{cases} \frac{2 l}{d^2} \;\quad l \le d \\ 0 \qquad\; l > d \end{cases}$

En el gráfico anterior, considere los nodos dentro del círculo de radio centrado en el origen. Supongamos que, en el tiempo , colocamos un pequeño robot dentro de cada uno de los nodos mencionados. Es decir, la densidad de los robots en el avión viene dada por: $r$ $t=0$

dondees la distancia desde el origen. La siguiente figura muestra un ejemplo de la colocación inicial de los robots.

g (l) = {\begin{cases} ρ l \leq r \\ 0 l > d \end{cases}

$g(l)= \begin{cases} \rho \quad l \le r \\ 0 \quad\; l > d \end{cases}$

l

$l$

ejemplo

En cada paso de tiempo, los robots van al azar a uno de los vecinos.

Ahora, mi pregunta es: ¿cuál es la función de densidad de los robots en ? ¿Es posible calcular la función de densidad cuando ? $t>0$ $t \rightarrow \infty$

Lo siento chicos, de ninguna manera soy matemático. Avíseme si algo no está claro.

— Helio
fuente

Busque libros de Wolfgang Woess como editor o autor. Una colección reciente: caminatas aleatorias, límites y espectros. Birkhauser, 2011. Desde 2000 (Cambridge Univ.Press): caminatas aleatorias en gráficos y grupos infinitos.

— Deer Hunter

Gracias cazador. Eché un vistazo rápido a su libro de 2011, pero no pude encontrar nada relacionado. No tengo acceso al 2000 en este momento, pero lo buscaré una vez que lo encuentre. Avíseme si recuerda algo más específico de los libros.

— Helio

Aquí hay un comienzo.

$r = d/2$

$t$ $n = 1 + 4t + 2t(t-1)$ $t$ $A_t$ $n \times n$ $n$ $e_{i,t} \in \{0,1\}^n$ $0$ $1$ $i$ $A_t$ $i$ $t$ $e_{1,t}' A_t^t e_{i,t}$ $A^t = A \times A \cdots \times A$ $A$ $t$ $\cal L_1$

$t$ $r(t+1)$ $0$ $t$ $q$ $t$ $(x,y)$ $t$ $f_t(x,y)$ $f_t$ $r$ $X$

$U$ $M$ $MU + X$

$X$

— usuario1448319
fuente

t

$t$

t = 0

$t = 0$

t = 1

$t = 1$

t = 2

$t = 2$

t^{2}

$t^2$

n = 1 + 4 t + 2 (t - 1)^{2}

$n = 1 + 4t + 2(t-1)^2$

n = 1 + 4 t + 2 t (t - 1) = 1 + 2 t + 2 t^{2}

$n= 1 + 4t + 2t(t-1) = 1 + 2t + 2t^2$

1

$1$

+ 4 t

$+4t$

+ 2 t (t - 1)

$+2t(t-1)$

t = 2

$t=2$

(0, 0)

$(0,0)$

(1, 0), (2, 0)

$(1,0), (2, 0)$

(1, 1)

$(1,1)$

(1, 0)

$(1,0)$

Z^{2}

$\mathbb Z^2$

(1, 0)

$(1,0)$

(0, 0)

$(0,0)$

(1, 0)

$(1,0)$

A_{t}

$A_t$

$n=1+4t+2(t−1)^2$ $t$