Promedio de bateo bayesiano previo

Quería hacer una pregunta inspirada en una excelente respuesta a la consulta sobre la intuición para la distribución beta. Quería comprender mejor la derivación de la distribución previa para el promedio de bateo. Parece que David está retrocediendo los parámetros de la media y el rango.

Bajo el supuesto de que la media es $0.27$ y la desviación estándar es , ¿puede retroceder y resolviendo estas dos ecuaciones: $0.18$ $\alpha$ $\beta$

\frac{α}{α + β} = 0.27 \frac{α \cdot β}{(α + β)^{2} \cdot (α + β + 1)} = {0.18}^{2}

$\begin{equation} \frac{\alpha}{\alpha+\beta}=0.27 \\ \frac{\alpha\cdot\beta}{(\alpha+\beta)^2\cdot(\alpha+\beta+1)}=0.18^2 \end{equation}$

bayesian prior

— Dimitriy V. Masterov
fuente

Honestamente, seguí graficando valores en R hasta que se veía bien.

— David Robinson

¿De dónde sacas que la desviación estándar es .18?

— appleLover

¿Cómo se te ocurrió esta desviación estándar? ¿Lo sabías de antemano?

— Maria Lavrovskaya

Respuestas:

Darse cuenta de:

\frac{α \cdot β}{(α + β)^{2}} = (\frac{α}{α + β}) \cdot (1 - \frac{α}{α + β})

$\begin{equation} \frac{\alpha\cdot\beta}{(\alpha+\beta)^2}=(\frac{\alpha}{\alpha+\beta})\cdot(1-\frac{\alpha}{\alpha+\beta}) \end{equation}$

Esto significa que la varianza se puede expresar en términos de la media como

σ^{2} = \frac{μ \cdot (1 - μ)}{α + β + 1}

$\begin{equation} \sigma^2=\frac{\mu\cdot(1-\mu)}{\alpha+\beta+1} \\ \end{equation}$

Si desea una media de $.27$ y una desviación estándar de $.18$ (varianza $.0324$ ), simplemente calcule:

α + β = \frac{μ (1 - μ)}{σ^{2}} - 1 = \frac{.27 \cdot (1 - .27)}{.0324} - 1 = 5.083333

$\begin{equation} \alpha+\beta=\frac{\mu(1-\mu)}{\sigma^2}-1=\frac{.27\cdot(1-.27)}{.0324}-1=5.083333 \\ \end{equation}$

Ahora que conoce el total, $\alpha$ y $\beta$ son fáciles:

α = μ (α + β) = .27 \cdot 5.083333 = 1.372499 β = (1 - μ) (α + β) = (1 - .27) \cdot 5.083333 = 3.710831

$\begin{equation} \alpha=\mu(\alpha+\beta)=.27 \cdot 5.083333=1.372499 \\ \beta=(1-\mu)(\alpha+\beta)=(1-.27) \cdot 5.083333=3.710831 \end{equation}$

Puede verificar esta respuesta en R:

> mean(rbeta(10000000, 1.372499, 3.710831))
[1] 0.2700334
> var(rbeta(10000000, 1.372499, 3.710831))
[1] 0.03241907

— David Robinson
fuente

David, ¿sigues alguna investigación de béisbol? Existen varias técnicas competitivas para encontrar las

adecuadas , por lo que me preguntaba si tenía alguna opinión al respecto si estaba haciendo algo además de tratar de encontrar un gráfico que pareciera razonable.

α

$\alpha$

β

$\beta$

— Michael McGowan

No sigo particularmente sabermetrics, en la otra respuesta, resultó ser un ejemplo muy conveniente de estimar p de un binomio con un previo. Ni siquiera sé si así es como se hace en sabermetrics, y si es así, sé que hay muchos componentes que omití (jugadores que tienen diferentes antecedentes, ajustes de estadio, ponderando los éxitos recientes sobre los antiguos ...)

— David Robinson

Estoy impresionado de que tu atención fuera tan precisa.

— Dimitriy V. Masterov

Hola David, ¿cómo obtienes estos valores de

a tus valores ocultos en la publicación vinculada de 81 y 219 respectivamente?

α = 1.37

$\alpha = 1.37$

β = 3.71

$\beta = 3.71$

— Alex

@Alex La varianza solicitada y la desviación estándar provienen de la pregunta anterior, que solicitó un SD de .18, no la publicación de distribución beta. Si estuviera calculando en lugar de mirar a los ojos, podría haber adivinado una SD de algo así como .03, que habría dado valores de 59 y 160.

— David Robinson

Quería agregar esto como un comentario sobre la excelente respuesta, pero duró mucho y se verá mejor con el formato de respuesta.

Algo a tener en cuenta es que no todos son posibles. Está claro , pero no tan claras son las limitaciones para . $(\mu, \sigma^2)$ $\mu \in [0,1]$ $\sigma^2$

Usando el mismo razonamiento que David, podemos expresar

σ^{2} (α, μ) = \frac{μ^{2} (1 - μ)}{α + μ}

$\sigma^2(\alpha, \mu) = \frac{\mu^2 (1-\mu)}{\alpha + \mu}$

$\alpha$ $\sigma^2$ $\mu$

lim_{α \to 0} σ^{2} (α, μ) = μ (1 - μ)

$\lim_{\alpha \rightarrow 0}\sigma^2(\alpha, \mu) = \mu(1-\mu)$

$\alpha$ $\alpha > 0$ $\mu = \frac12$

$\mu$ $\alpha$ $\beta = \frac{1-\mu}{\mu} \alpha$

En conjunto, este es el conjunto de medios y variaciones válidos para Beta:

(De hecho, esto se observa en la página de Wikipedia para Beta )

— MichaelChirico
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