Pregunta de entrevista de ameba

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Me hicieron esta pregunta durante una entrevista para una posición comercial con una empresa comercial propietaria. Me gustaría mucho saber la respuesta a esta pregunta y la intuición detrás de ella.

Pregunta sobre la ameba: una población de amebas comienza con 1. Después de 1 período, la ameba puede dividirse en 1, 2, 3 o 0 (puede morir) con la misma probabilidad. ¿Cuál es la probabilidad de que toda la población muera eventualmente?

probability

— AME
fuente

¿debemos suponer que hace cada uno de estos con probabilidad ?

1 / 4

$1/4$

— shabbychef

16

desde un punto de vista biológico, esa posibilidad es 1. El entorno está obligado a cambiar a un punto en el que ninguna población puede sobrevivir, dado que en x mil millones de años el sol explotará. Pero supongo que esa no es realmente la respuesta que estaba buscando. ;-) La pregunta tampoco tiene sentido. Un amebe solo puede dividirse en 2 o 0. Moraleja: los comerciantes no deben hacer preguntas sobre biología.

— Joris Meys

77

¿Tal pregunta en una entrevista para tal puesto? ¿Quizás es algo como dilbert.com/strips/comic/2003-11-27 ?

1

Esta es una linda pregunta como Mike menciona. La intuición aquí es que la probabilidad de supervivencia / extinción eventual es la misma entre dos generaciones. Podría pensarse en una versión más creativa cuando la probabilidad de supervivencia en sí misma varía en función del número de amebas presente. Lo he agregado al blog de mi sitio.

— brócoli el

1

1) Las amebas se reproducen por mitosis binarias. 2) Las amebas no se reproducen en figuras mitóticas anormales, p. Ej., Veces 3, si se observara, sería letal. 4) Hacer preguntas durante una entrevista que provoquen sesgos de confirmación generalmente se consideran de baja calidad. Consejo; es posible que no quieras ese trabajo.

— Carl

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Lindo problema Este es el tipo de cosas que los probabilistas hacen en sus cabezas por diversión.

La técnica es asumir que hay una probabilidad de extinción tal, llamarlo . Luego, observando un árbol de decisión profundo para los posibles resultados que vemos, usando la Ley de Probabilidad Total, que $P$

$P=\frac{1}{4} + \frac{1}{4}P + \frac{1}{4}P^2 + \frac{1}{4}P^3$

suponiendo que, en los casos de 2 o 3 "descendientes", sus probabilidades de extinción son IID. Esta ecuación tiene dos raíces factibles, y . Alguien más inteligente que yo podría explicar por qué el no es plausible. $1$ $\sqrt{2}-1$ $1$

Los trabajos deben estar ajustados: ¿qué tipo de entrevistador espera que resuelva ecuaciones cúbicas en su cabeza?

— Mike Anderson
fuente

3

La razón por la que 1 no es una raíz se ve fácilmente considerando el número esperado de Amoeba después de pasos, . Uno puede mostrar fácilmente que . Debido a que la probabilidad de cada resultado es tenemos , por lo que crece sin límite en

. Claramente, esto no concuerda con

.

k

$k$

E_{k}

$E_k$

E_{k} = E_{1}^{k}

$E_k = E_1^k$

1 / 4,

$1/4,$

E_{1} = 3 / 2

$E_1 = 3/2$

E_{k}

$E_k$

k

$k$

P = 1

$P = 1$

— shabbychef

99

@shabbychef No es tan obvio para mí. Puede hacer que la expectativa crezca exponencialmente (o incluso más rápido) mientras la probabilidad de desaparecer aún se acerca a la unidad. (Por ejemplo, considere un proceso estocástico en el que la población se cuadruplica en cada generación o muere por completo, cada uno con las mismas posibilidades. La expectativa en la generación n es 2 ^ n pero la probabilidad de extinción es 1.) Por lo tanto, no hay contradicción; Su argumento necesita algo adicional.

— whuber

1

@shabbychef: gracias por la edición. ¡No me di cuenta de que podíamos usar TeX integrado para las matemáticas! @whuber - la declaración de shabbychef

es solo una variación de mi declaración sobre la probabilidad de extinción, solo agregue expectativas en lugar de multiplicar las probabilidades. Buen trabajo, shab.

E_{k} = E_{1}^{k}

$E_k = E_1^k$

— Mike Anderson el

1

Eso está claro, Mike, pero ¿cuál es tu punto? ¿No estamos hablando de cómo descartar 1 como solución? Por cierto, es obvio (mediante inspección y / o comprensión del problema) que 1 será una solución. Esto lo reduce a una ecuación cuadrática que se puede resolver fácilmente en el acto. Sin embargo, ese no suele ser el punto de una pregunta de entrevista. El autor de la pregunta probablemente esté probando para ver lo que el solicitante sabe activamente sobre los procesos estocásticos, el movimiento browniano, el cálculo de Ito, etc., y cómo logran resolver problemas, no si pueden resolver esta pregunta en particular.

— whuber

3

@shabbychef: Una forma de descartar P = 1 es estudiar la evolución de la función generadora de probabilidad. El pgf se obtiene comenzando con t (que representa una población inicial de 1) y reemplazando iterativamente t por (1 + t + t ^ 2 + t ^ 3) / 4. Para cualquier valor inicial de t menor que 1, un gráfico muestra fácilmente que las iteraciones convergen a Sqrt (2) -1. En particular, el pgf se mantiene alejado de 1, lo que demuestra que no puede converger a 1 en todas partes, lo que representaría una extinción completa. Es por eso que "el 1 no es plausible".

— whuber

21

Algún reverso del cálculo del sobre (literalmente, tenía un sobre tirado en mi escritorio) me da una probabilidad de 42/111 (38%) de nunca llegar a una población de 3.

Ejecuté una simulación rápida de Python, viendo cuántas poblaciones habían muerto en 20 generaciones (en ese momento, por lo general, se extinguieron o son miles), y obtuve 4164 muertos de cada 10000 carreras.

Entonces la respuesta es 42%.

— Emile
fuente

99

es 0.4142, por lo que está de acuerdo con el resultado analítico de Mike. Y +1, porque me gustan las simulaciones ;-)

\sqrt{2} - 1

$\sqrt{2}-1$

2

También +1 porque me gustan las simulaciones. Cuál habría sido mi respuesta;).

— Fomite

7

Esto suena relacionado con el proceso de Galton Watson , originalmente formulado para estudiar la supervivencia de los apellidos. La probabilidad depende del número esperado de sub-amebas después de una sola división. En este caso que el número esperado es que es mayor que el valor crítico de , y por lo tanto la probabilidad de extinción es menor que . $3/2,$ $1$ $1$

Al considerar el número esperado de ameba después de divisiones, se puede demostrar fácilmente que si el número esperado después de una división es menor que , la probabilidad de extinción es . La otra mitad del problema, no estoy tan seguro. $k$ $1$ $1$

— shabbychef
fuente

6

Al igual que la respuesta de Mike Anderson dice que puedes equiparar la probabilidad de que un linaje de una ameba se extinga con una suma de probabilidades de que el linaje del niño se extinga.

{pags}_{pags una r mi norte t} = \frac{1}{4 4} {pags}_{do h yo l re}^{3} + \frac{1}{4 4} {pags}_{do h yo l re}^{2} + \frac{1}{4 4} {pags}_{do h yo l re} + \frac{1}{4 4}

$p_{parent} = \frac{1}{4} p_{child}^3 + \frac{1}{4} p_{child}^2 + \frac{1}{4} p_{child} + \frac{1}{4}$

Luego, cuando establece la probabilidad de padres e hijos para que su linaje se extinga, obtiene la ecuación:

pags = \frac{1}{4 4} {pags}^{3} + \frac{1}{4 4} {pags}^{2} + \frac{1}{4 4} pags + \frac{1}{4 4}

$p = \frac{1}{4} p^3 + \frac{1}{4} p^2 + \frac{1}{4} p + \frac{1}{4}$

que tiene raíces $p=1$ , $p=\sqrt{2}-1$ , y $p=-\sqrt{2}-1$ .

La pregunta que queda es por qué la respuesta debería ser $p=\sqrt{2}-1$ y no $p=1$ . Esto se hace, por ejemplo, en esta pregunta duplicada de laentrevista de Amoeba: ¿Es la P (N = 0) 1 o 1/2? . Enla respuesta de shabbychefse explica que uno puede mirar, $E_k$ , el valor esperado de la magnitud de la población después de la $k$ -ésima devisiones, y ver si está bien crece o disminuye.

Para mí hay algo de indirecto en la argumentación detrás de eso y parece que no está completamente probado.

$E_k$ $k$ $x$ $k$
$E_k = 1$ $1$ $E_k= 1$

Derivación alternativa.

$p=1$

$1$
$1$

$1$

pags = \frac{1}{3} {pags}^{3} + \frac{1}{3} {pags}^{2} + \frac{1}{3} pags

$p = \frac{1}{3} p^3 + \frac{1}{3} p^2 + \frac{1}{3} p$

¿Podríamos llegar a una solución de una manera ligeramente diferente?

$p_k$ $k$

{pags}_{1} = \frac{1}{4 4}

$p_1 = \frac{1}{4}$

y la relación de recurrencia

{pags}_{k + 1} = \frac{1}{4 4} {pags}_{k}^{3} + \frac{1}{4 4} {pags}_{k}^{2} + \frac{1}{4 4} {pags}_{k} + {pags}_{1}

$p_{k+1} = \frac{1}{4} p_{k}^3 + \frac{1}{4} p_k^2 + \frac{1}{4} p_k + p_1$

o

δ_{k} = {pags}_{k + 1} - {pags}_{k} = \frac{1}{4 4} {pags}_{k}^{3} + \frac{1}{4 4} {pags}_{k}^{2} - \frac{3}{4 4} {pags}_{k} + {pags}_{1} = F ({pags}_{k})

$\delta_k = p_{k+1} - p_k = \frac{1}{4} p_{k}^3 + \frac{1}{4} p_k^2 - \frac{3}{4} p_k + p_1 = f(p_k)$

$f(p_k)>1$ $k$ $k$

Convergencia a la raíz y la relación con el valor esperado.

$f(p_k) < p_{\infty}-p_k$ $p_k$ $k$ $f(p_\infty) = 0$

$f(p_k)$ $-1$ $0\leq p \leq 1$ $f(p) = -p + \sum_{k=0}^{\infty} a_k p^k$ $a_k \geq 0$

F^{'} (pags) = - 1 + \sum_{k = 1}^{\infty} {una}_{k} k {pags}^{k - 1}

$f^\prime(p) = -1 + \sum_{k=1}^{\infty} a_k k p^{k-1}$

f^{'} (0) = - 1

$f^\prime(0) = -1$

f^{'} (1) = - 1 + E_{1}

$f^\prime(1) = -1 + E_1$

p = 0

$p=0$

p = 1

$p=1$

E_{1} > 1

$E_1>1$

0

$0$

1

$1$

E_{1} \leq 1

$E_1 \leq 1$

0

$0$

1

$1$

f (p) = 0

$f(p) = 0$

a_{1} = 1

$a_1 = 1$

— Sexto Empírico
fuente