"Pico" de una función de densidad de probabilidad sesgada

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Me gustaría describir el "pico" y el "peso" de la cola de varias funciones de densidad de probabilidad sesgadas.

Las características que quiero describir, ¿se llamarían "curtosis"? ¿Solo he visto la palabra "curtosis" usada para distribuciones simétricas?

— usuario1375871
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De hecho, las medidas de curtosis se aplican típicamente a distribuciones simétricas. También puede calcularlo para los sesgados, pero la interpretación cambia ya que este valor varía cuando se introduce la asimetría. De hecho, estos dos conceptos son difíciles de separar. Recientemente, en este artículo se propuso una medida de curtosis invariante por asimetría .

La curtosis alta está asociada con el pico y con la cola pesada (también se caracteriza por 'falta de hombros'). Uno de los volúmenes de Kendall y Stuart discute estos temas con cierta extensión. Pero tales interpretaciones, como usted nota, generalmente se dan en la situación de casi simetría. En casos no simétricos, el cuarto momento estandarizado generalmente está altamente correlacionado con el cuadrado del tercer momento estandarizado, por lo que en su mayoría miden casi el mismo tipo de cosas.

— Glen_b -Reinstale a Mónica el

De hecho, dada la forma particular en que lo expresé en mi comentario anterior, es cierto incluso para las distribuciones simétricas: el cuadrado del tercer momento estandarizado de la muestra (asimetría de momento cuadrado) está altamente correlacionado con el cuarto momento estandarizado de la muestra ('curtosis'), incluso al decir lo normal.

— Glen_b -Reinstale a Monica el

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$\mu_{2}$ $\mu_{3}$ $\mu_{4}$

$B_{1}$ $B_{2}$

$\mu_{3} = \sqrt {B_{1}\ \mu_{2}^{3}}$
$\mu_{4} = B_{2}\ \mu_{2}^{2}$

$\mu_{2} = 1$ $\sqrt {B_{1}}$ $B_{2}$

Hemos intentado resumir este cuadro aquí para que pueda ser programado, pero es mejor revisarlo en Hahn y Shapiro (pp 42-49,122-132,197). En cierto sentido, estamos sugiriendo un poco de ingeniería inversa del gráfico de Pearson, pero esta podría ser una forma de cuantificar lo que está buscando.

— AsymLabs
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El problema principal aquí es, ¿qué es el "pico"? ¿Es curvatura en el pico (segunda derivada)? ¿Requiere estandarización primero? (Se podría pensar que sí, pero hay una corriente de literatura que comienza con Proschan, Ann. Math. Statist. Volume 36, Number 6 (1965), 1703-1706, que define el pico de una manera que es normal con una varianza menor son más " puntiagudo"). ¿O es la concentración de probabilidad dentro de una desviación estándar de la media, como está implícito en Balanda y Macgillivray (The American Statistician, 1988, Vol 42, 111-119)? Una vez que se asienta en una definición, debería ser trivial aplicarla. Pero yo preguntaría, "¿por qué te importa?" ¿De qué relevancia es el "pico", como quiera que esté definido?

Por cierto, la curtosis de Pearson mide solo las colas, y no mide ninguna de las definiciones de "pico" mencionadas anteriormente. Puede cambiar los datos o la distribución dentro de una desviación estándar de la media tanto como desee (manteniendo la restricción media = 0 y la varianza = 1), pero la curtosis solo puede cambiar dentro de un rango máximo de 0.25 (generalmente mucho menos). Por lo tanto, puede descartar el uso de curtosis para medir el pico de cualquier distribución, a pesar de que la curtosis es una medida de colas para cualquier distribución, sin importar si la distribución es simétrica, asimétrica, discreta, continua, discreta / continua, o empírica. La curtosis mide las colas para todas las distribuciones, y prácticamente nada sobre el pico (como se define).

— Peter Westfall
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$\Pr\left(\tilde X \gt 1- \alpha \right)$ $w_1=\frac{\tilde{x_{99}}-\tilde{x_{50}}}{\tilde{x_{75}}-\tilde{x_{50}}}$ $\tilde x$ $w_2=\frac{\tilde{\Phi_{99}}-\tilde{\Phi_{50}}}{\tilde{\Phi_{75}}-\tilde{\Phi_{50}}}$ $\tau=\frac{w_1}{w_2}$

— Giorgio Spedicato
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No estoy seguro de que entienda su pico y pesadez. Kurtosis significa "Exceso" en alemán, por lo que describe la "cabeza" o el "pico" de una distribución, y describe si es muy ancha o muy estrecha. Wikipedia afirma que el "pico" se describe realmente por la "curtosis", mientras que el pico no parece ser una palabra real y debe usar el término "curtosis".

Así que creo que podría haber hecho todo bien, la cabeza es la Kurtosis, la "pesadez" de la cola podría ser la inclinación ":

Así es como lo encuentras:

a_{3} = \frac{Σ_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{3}}{N * s_{x}^{3}}

$a_3 = \frac{\Sigma^{N}_{i=1}(x_i - \overline x)^3}{N * s^3_x}$

con s como la desviación estándar para x.

Los valores indican:

Inclinación negativa:

a_{3} < 0

$a_3 < 0$

Inclinación positiva:

a_{3} > 0

$a_3 > 0$

Sin sesgo

a_{3} = 0

$a_3 = 0$

Puede obtener un valor para la curtosis con:

a_{4} = \frac{Σ_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{4}}{N * s_{x}^{4}}

$a_4 = \frac{\Sigma^{N}_{i=1}(x_i - \overline x)^4}{N * s^4_x}$

Los valores indican:

Platycurtic:

a_{4} < 3

$a_4 < 3$

Leptocurtic:

a_{4} > 3

$a_4 > 3$

Normal:

a_{4} = 3.0

$a_4 = 3.0$

¿Eso ayudó?

— Johannes Hofmeister
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Me temo que esta respuesta en su forma actual puede ser menos útil debido a errores en ella. La inclinación es una medida estándar de asimetría . No está estrechamente relacionado con el peso de las colas: es posible que las colas sean extremadamente pesadas y la asimetría sea cero (que es el caso de cualquier distribución simétrica, por ejemplo). Tenga en cuenta también que es imposible que sea negativo, por lo que la segunda mitad de esta respuesta tiene poco sentido. (¿Quizás confundiste la curtosis con el exceso de curtosis ?)

a_{4}

$a_4$

— whuber

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Gracias por la aclaración. De hecho, podría haber algunos errores en las fórmulas, simplemente las copié de los scripts que proporcionan en la unidad. Supervisé el hecho de que a4 no puede ser negativo.

— Johannes Hofmeister el

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Miré por qué mi respuesta es incorrecta: es un error de traducción, me disculpo por eso. Mis diapositivas están todas en alemán, mezclando Kurtosis y Exceso .

— Johannes Hofmeister el

@ Peter Como Peter Westfall sigue señalando, su comentario es incorrecto: el "pico" (de cualquier modo), considerado vagamente como puntiagudo o altura, no tiene absolutamente nada que ver con las colas de ninguna distribución, ni se mide por ningún finito combinación de momentos (como la curtosis). Puede estar relacionado con el peso de las colas para una familia de distribuciones, pero eso es un asunto completamente diferente.

— whuber

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La curtosis está definitivamente asociada con el pico de la curva. De ahora en adelante, creo que realmente está buscando curtosis que exista, ya sea que la distribución sea simétrica o no. (user10525) definitivamente lo ha dicho bien. Espero que tu problema ya esté resuelto. Comparta su resultado, todas las opiniones son bienvenidas.

— Vani
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No estoy seguro de cómo esto constituye una respuesta útil más allá de lo que ya se escribió aquí. ¿Qué tal si expandes más sobre la curtosis y el pico de la curva?

— Momo

Quería dar una aclaración clara a la consulta. La discusión parecía ser confusa @Momo

— Vani