¿Cuál es el nombre de esta distribución discreta (ecuación de diferencia recursiva) que obtuve?

Encontré esta distribución en un juego de computadora y quería aprender más sobre su comportamiento. Viene de la decisión de si un determinado evento debe ocurrir después de un número determinado de acciones del jugador. Los detalles más allá de esto no son relevantes. Parece aplicable a otras situaciones, y lo encontré interesante porque es fácil de calcular y crea una larga cola.

Cada paso , el juego genera un número aleatorio uniforme . Si , entonces se desencadena el evento. Una vez que se produce el evento, el juego restablece y vuelve a ejecutar la secuencia. Solo estoy interesado en una ocurrencia del evento para este problema, porque eso representa la distribución que está usando el juego. (Además, cualquier pregunta relacionada con múltiples ocurrencias se puede responder con un solo modelo de ocurrencia). $n$ $0 \leq X < 1$ $X < p(n)$ $n = 0$

La "anormalidad" principal aquí es que el parámetro de probabilidad en esta distribución aumenta con el tiempo, o dicho de otra manera, el umbral aumenta con el tiempo. En el ejemplo, cambia linealmente, pero supongo que podrían aplicarse otras reglas. Después de pasos, o acciones del usuario, $n$

p (n) = k n

$p(n) = kn$

para alguna constante . En cierto punto , obtenemos . El evento simplemente se garantiza que ocurra en ese paso. $0 < k < 1$ $n_{\max}$ $p(n_{\max}) \geq 1$

Pude determinar eso

y para PMF y CDF . En resumen, la probabilidad de que el evento ocurra en el

f (n) = p (n) [1 - F (n - 1)]

$f(n) = p(n)\left[1 - F(n - 1)\right]$

F (n) = p (n) + F (n - 1) [1 - p (n)]

$F(n) = p(n) + F(n-1)\left[1 - p(n)\right]$

f (n)

$f(n)$

F (n)

$F(n)$

n

$n$ El paso es igual a la probabilidad

, menos la probabilidad de que ya haya sucedido en cualquier paso anterior.

p (n)

$p(n)$

Aquí hay una trama de nuestro amigo Monte Carlo, por diversión, con . La mediana es de 21 y promedio de 22. $k \approx 0.003$ ingrese la descripción de la imagen aquí

Esto es ampliamente equivalente a una ecuación de diferencia de primer orden del procesamiento de señal digital, que es mi experiencia, por lo que me pareció bastante novedoso. También me intriga la idea de que podría variar de acuerdo con cualquier fórmula arbitraria. $p(n)$

Mis preguntas:

¿Cuál es el nombre de esta distribución, si tiene una?
$f(n)$ $F(n)$
¿Hay otros ejemplos de distribuciones recursivas discretas como esta?

Ediciones Se aclaró el proceso sobre la generación de números aleatorios.

— jbarlow
fuente

¿Alguna razón por la que elegiste corchetes en lugar de ()?

— Cam.Davidson.Pilon

@ Cam.Davidson.Pilon: Mi fondo DSP se coló. Tendemos a usar corchetes para funciones de tiempo discreto. Supongo que esto debe ser discordante, así que lo cambiaré.

— jbarlow

n

$n$

X

$X$

X < p (n)

$X < p(n)$

X

$X$

p (n) = k n

$p(n) = k n$

0 < k < 1

$0 < k < 1$

⌈ k^{- 1} ⌉

$\lceil k^{-1} \rceil$

p (n)

$p(n)$

n > 1 / k

$n > 1/k$

p (n)

$p(n)$

n

$n$ función de riesgo en el subcampo de estadística conocido comoAnálisis de supervivencia .

— cardenal

k

$k$

F

$F$

f

$f$

\sqrt{1 / k} = \sqrt{333} \approx 18

$\sqrt{1/k}=\sqrt{333}\approx 18$

k

$k$

p (n)

$p(n)$

1

$1$

F

$F$

1

$1$

Respuestas:

En cierto sentido, lo que ha hecho es caracterizar todas las distribuciones no negativas de valores enteros.

Dejemos de lado la descripción del proceso aleatorio por un momento y centrémonos en las recurrencias en la pregunta.

$f_n = p_n (1 - F_{n-1})$ $F_n = p_n + (1-p_n) F_{n-1}$ $S_n = 1 - F_n = \mathbb P(T > n)$ $T$ $F$

S_{n} = 1 - F_{n} = (1 - p_{n}) S_{n - 1},

$S_n = 1 - F_n = (1-p_n) S_{n-1} \>,$

S_{n} = \prod_{k = 0}^{n} (1 - p_{k}) .

$S_n = \prod_{k=0}^n (1-p_k) \> .$

(p_{n})

$(p_n)$

[0, 1]

$[0,1]$

n \to \infty

$n \to \infty$

Más específicamente,

$(p_n)$ $[0,1]$
$- \sum_{n = 0}^{\infty} \log (1 - p_{n}) = \infty,$ $-\sum_{n=0}^\infty \log(1-p_n) = \infty \>,$

$(p_n)$ $[0,1]$

$(p_n)$ $[0,1]$ $0 < p_n < 1$ $n \leq N$ $p_n = 0$ $n > N$

¡Pero espera hay mas!

$F$ $f$

h (t) = \frac{f (t)}{S (t)} .

$h(t) = \frac{f(t)}{S(t)} \>.$

$\Lambda(t) = \int_0^t h(s) \,\mathrm d s$

S (t) = \exp (- Λ (t)) = \exp (- \int_{0}^{t} h (s) d s) .

$S(t) = \exp(-\Lambda(t)) = \exp\Big(-\int_0^t h(s) \,\mathrm d s\Big)\>.$

h

$h$

h (t) \geq 0

$h(t) \geq 0$

t

$t$

\int_{0}^{t} h (s) d s ↑ \infty

$\int_0^t h(s) \,\mathrm d s \uparrow \infty$

t \to \infty

$t \to \infty$

$t > t_0$

S (t) = e^{- \int_{t_{0}}^{t} h (s) d s} S (t_{0}) .

$S(t) = e^{-\int_{t_0}^t h(s) \,\mathrm d s} S(t_0) \>.$

$h(t)$ $S(t)$

Conectando de nuevo al caso discreto

$S(n)$

h (t) = h_{n} = - \log (1 - p_{n}),

$h(t) = h_n = -\log(1-p_n)\>,$

(n - 1, n]

$(n-1,n]$

(p_{n})

$(p_n)$

$p_n$ $-\log(1-p_n) \approx p_n = f_n / S_{n-1}$

$p_n = k n$ $f_n$ $n = \lceil k^{-1} \rceil$ $f_n = 0$ $n > \lceil k^{-1} \rceil$

— cardenal
fuente

k

$k$

k = 1 / 2

$k=1/2$

f = (0, 1 / 2, 1 / 2, 0, \dots)

$f=(0,1/2,1/2,0,\ldots)$

k = 1 / m

$k=1/m$

f (m + 1) = f (m + 2) = \dots = 0

$f(m+1)=f(m+2)=\cdots=0$

f_{n}

$f_n$

F_{n}

$F_n$

f_{n}

$f_n$

Gran respuesta. Esto es muy perspicaz. Estaba realmente interesado en ver este problema conectado con otras áreas y conceptos.

— jbarlow

@jbarlow: gracias. ¡Me alegra que lo hayas encontrado útil! Disfruté pensar un poco al respecto, ya que es una buena pregunta.

— cardenal

$p(n) = p < 1$

F (n) = p + F (n - 1) (1 - p); F (0) = p

$F(n) = p + F(n-1)(1-p); \; F(0) = p$

tiene la solución

F (n) = P (N \leq n) = 1 - (1 - p)^{n + 1}

$F(n) = P(N \le n) = 1- (1-p)^{n+1}$

$p(n)$

Otros casos:

$p(n) = \frac{p}{n}; \; p<1; \;F(0) = p$ $F (n) = 1 - \frac{(1 - p) Γ (n + 1 - p)}{Γ (1 - p) Γ (n + 1)}$ $F(n) = 1 - \frac{(1-p)\Gamma( n + 1 -p)}{\Gamma( 1-p)\Gamma(n+1)}$
$S(n) = 1-F(n)$ $S (n) = (1 - p (n)) S (n - 1)$ $S(n) =\left(1 - p(n) \right) S(n-1)$
$p(n)$ $n$ $p(n) = kn$ $p>1$ $p (n) = 1 - \frac{(1 - p)}{n + 1} p < 1$ $p(n) = 1 - \frac{(1-p)}{n+1} \; p<1$ $p(0) = p$ $p(n)$ $F (n) = 1 - \frac{(1 - p)^{n + 1}}{n!}$ $F(n) = 1 - \frac{ (1-p)^{n+1} }{ n! }$ $S(n) = 1 - F(n) = \frac{ (1-p)^{n+1} }{ n! }$ $\sum_{i = 0}^{\infty} S (i) = E [N]$ $\sum_{i=0}^{\infty} S(i) = E[N]$ $E [N] = (1 - p) e^{(1 - p)}$ $E[N] = (1-p)e^{(1-p) }$

— Cam.Davidson.Pilon
fuente

Cam, esa no es la función de peligro, sino la función de supervivencia . :-)

— cardenal

ty, * edited to survival

— Cam.Davidson.Pilon