Estimación de parámetros de distribución exponencial con muestreo sesgado

Quiero calcular el parámetro de la distribución exponencial partir de una población de muestra sacada de esta distribución en condiciones sesgadas. Hasta donde sé, para una muestra de n valores, el estimador habitual es . Sin embargo, mi muestra está sesgada de la siguiente manera:$\lambda$$e^{-\lambda x}$$\hat{\lambda} = \frac{n}{\sum x_i}$

De una población completa de m elementos extraídos de la distribución exponencial, solo se conocen los n elementos más pequeños. ¿Cómo puedo estimar el parámetro en este escenario?$\lambda$

Un poco más formalmente, si son muestras de iid extraídas de , de modo que para cada tenemos , entonces ¿Cómo puedo estimar del conjunto donde .$\{x_1,x_2,x_3,...,x_m \}$$e^{-\lambda x}$$i < j$$x_i \leq x_j$$\lambda$$\{x_1,x_2,x_3,...,x_n\}$$n < m$

¡Muchas gracias!

Miguel

El estimador de máxima verosimilitud para el parámetro de la distribución exponencial bajo censura tipo II se puede derivar de la siguiente manera. Supongo que el tamaño de la muestra es$m$de los cuales $n < m$ más pequeños se observan y la $m - n$ los más grandes no son observados (pero se sabe que existen)

Supongamos (por simplicidad de notación) que lo observado $x_i$ están ordenados: $0 \leq x_1 \leq x_2 \leq \cdots \leq x_n$. Entonces la densidad de probabilidad conjunta de$x_1, \dots, x_n$ es:

$f(x_1, \dots, x_n) = {m!\lambda^n \over {(m-n)!}}\exp\left\{-\lambda\sum_{i=1}^nx_i\right\}\exp\left\{-\lambda(m-n)x_n\right\}$

donde el primer exponencial se relaciona con las probabilidades de la $n$ observado $x_i$ y el segundo a las probabilidades de la $m-n$ desapercibido $x_i$ que son mayores que $x_n$ (que es solo 1 - el CDF en $x_n$.) Reorganizar los términos conduce a:

$f(x_1, \dots, x_n) = {m!\lambda^n \over {(m-n)!}}\exp\left\{-\lambda\left[\sum_{i=1}^{n-1}x_i+(m-n+1)x_n\right]\right\}$

(Tenga en cuenta que la suma corre a $n-1$ ya que hay un "$+1$"en el coeficiente de $x_n$.) Tomando el registro, luego la derivada wrt $\lambda$ y así sucesivamente conduce al estimador de máxima verosimilitud:

$\hat{\lambda} = n / \left[\sum_{i=1}^{n-1}x_i+(m-n+1)x_n\right]$

Esto vincula la respuesta de @jbowman a mi comentario. Es decir, bajo supuestos de trabajo comunes, uno puede usar la 'probabilidad de supervivencia estándar' bajo la censura de tipo II.

> #------seed------
> set.seed(1907)
> #----------------
> 
> #------some data------
> t <- sort(rexp(n=20, rate=2))        #true sample
> t[16:20] <- t[15]                    #observed sample
> delta <- c(rep(1, 15), rep(0, 5))    #censoring indicator
> data <- data.frame(t, delta)         #observed data
> #---------------------
> 
> #-----using @jbowman's formula------
> 15 / (sum(t[1:14]) + (5 + 1)*t[15])
[1] 2.131323
> #-----------------------------------
> 
> #------using the usual survival likelihood------
> library(survival)
> fit <- survreg(Surv(t, delta)~1, dist="exponential", data=data)
> exp(-fit$coef)
(Intercept) 
   2.131323 
> #-----------------------------------------------

PS1: Tenga en cuenta que esto no está restringido a la distribución exponencial.

PS2: Los detalles se pueden encontrar en la Sección 2.2 del libro de Lawless .

Asumiendo $n$ se conoce, se puede obtener una estimación a través de

$\Phi(x_k)=1-e^{-\lambda x_k} \approx (k/n)$ dónde $x_k$, $0<k<m$, se refiere a $k$'valor más pequeño en su conjunto de datos reducido.

La lógica es: si tuviera todo el conjunto de $n$ muestras, podrías construir el CDF empírico, $\Phi$, de esta muestra. Entonces si tomaste el artículo$k$ de esta matriz ordenada, correspondería al valor de CDF $k/n$. En muchos casos,$k=n/2$ Es una opción útil.