Suma de variables aleatorias binomiales y de Poisson

Si tenemos dos variables aleatorias independientes $X_1 \sim \mathrm{Binom}(n,p)$ y , ¿cuál es la función de masa de probabilidad de ? $X_2 \sim \mathrm{Pois}(\lambda)$ $X_1 + X_2$

NB Esto no es tarea para mí.

— Matteo Fasiolo
fuente

Supongo que trataste de convolucionar? en.wikipedia.org/wiki/… ¿Dónde te quedaste atascado? Supongo que no hay una forma cerrada, de lo contrario, la solución probablemente estaría aquí: en.wikipedia.org/wiki/…

— Stephan Kolassa

Sí, eso es lo que probé, pero tal vez he encontrado una respuesta aquí: mathstatica.com/SumBinomialPoisson Kummer confluente función hipergeométrica ... ¡ hugh !

— Matteo Fasiolo

He leído la etiqueta de tarea de acuerdo con su uso en este sitio . Salud. :-)

— cardenal

Novela significa nuevo (no conocido o publicado antes). Tampoco estoy de acuerdo en que el uso de métodos conocidos para resolver nuevos problemas lo convierta en tarea: lo mismo puede decirse de la mayoría de los artículos de revistas que publican resultados sobre distribuciones.

— Wolfies

Como en muchos otros casos en las estadísticas donde aparece una función hipergeométrica con argumentos integrales, si lo desea, puede entender que es una notación abreviada para la suma implícita (finita) en la convolución. La ventaja de tal expresión es que hay miles de formas de manipularla en formas más simples y, a menudo, se puede evaluar sin realizar la suma.

— whuber

Respuestas:

Terminará con dos fórmulas diferentes para , una para , y otra para . La forma más fácil de resolver este problema es calcular el producto de y $p_{X_1+X_2}(k)$ $0 \leq k < n$ $k \geq n$ $\sum_{i=0}^n p_{X_1}(i)z^k$ . Entonces, $\sum_{j=0}^{\infty}p_{X_2}(j)z^j$ es el coeficiente deen el producto. No es posible simplificar las sumas. $p_{X_1+X_2}(k)$ $z^k$

— Dilip Sarwate
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Dando la fórmula cerrada en términos de funciones hipergeométricas generalizadas (GHF) insinuadas en otras respuestas (el GHF en este caso es realmente solo un polinomio finito, por lo que es una abreviatura de la suma finita). Utilicé el arce para sumar la convolución, con este resultado:

P (X_{1} + X_{2} = k) = \sum_{x_{1} = 0}^{min (n, k)} (\binom{n}{x_{1}}) p^{x_{1}} (1 - p)^{n - x_{1}} e^{- λ} \frac{λ^{k - x_{1}}}{(k - x_{1})!} = \frac{{(1 - p)}^{n} e^{- λ} λ^{k}}{Γ (k + 1)}_{2} F_{0} (- k, - n;; - \frac{p}{(p - 1) λ})

$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \P(X_1+X_2=k)= \sum_{x_1=0}^{\min(n,k)} \binom{n}{x_1} p^{x_1}(1-p)^{n-x_1} e^{-\lambda} \frac{\lambda^{k-x_1}}{(k-x_1)!}= {\frac { \left( 1-p \right) ^{n}{{\rm e}^{-\lambda}}{\lambda}^{k}}{ \Gamma \left( k+1 \right) } {\mbox{$_2$F$_0$}(-k,-n;\,\ ;\,-{\frac {p}{ \left( p-1 \right) \lambda}})} }$

— kjetil b halvorsen
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Dilip Sarwate declaró hace 7 años que no es posible una simplificación, aunque esto ha sido cuestionado en los comentarios. Sin embargo, creo que es útil tener en cuenta que, incluso sin ninguna simplificación, el cálculo es bastante sencillo en cualquier hoja de cálculo o lenguaje de programación.

Aquí hay una implementación en R:

# example parameters
n <- 10
p <- .3
lambda <- 5

# probability for just a single value
x <- 10  # example value
sum(dbinom(0:x, n, p) * dpois(x:0, lambda))

# probability function for all values
x0  <- 0:30   # 0 to the maximum value of interest
x   <- outer(x0, x0, "+")
db  <- dbinom(x0, n, p)
dp  <- dpois(x0, lambda)
dbp <- outer(db, dp)
aggregate(as.vector(dbp), by=list(as.vector(x)), sum)[1:(max(x0)+1),]

— Pere
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Dilip no demostró que no sea posible simplificar las sumas: afirmó tal afirmación (y la afirmación no parece ser correcta). Si sigue los enlaces proporcionados por el OP, se proporciona una solución en términos de funciones hipergeométricas confluentes de Kummer.

— Wolfies

@wolfies: ese sería un punto muy interesante en una nueva respuesta a esta vieja pregunta. Probablemente más interesante que el mío.

— Pere

Un enfoque potencialmente más rápido para n grande en el binomio, y lambda grande implicaría transformadas rápidas de Fourier (o similares). Lo he usado con éxito en una serie de problemas del mundo real en los que la convolución no es algebraicamente conveniente, pero las respuestas numéricas son suficientes, y donde se agregaron múltiples variables independientes.

— Glen_b -Reinstate Monica el

n

$n$

λ

$\lambda$ dpoisxxx<-qpois(0:1+c(1,-1)*1e-6, lambda)dpoisxzapsmalln

En efecto. Hice algo similar con mi propia aplicación: salir lo suficientemente lejos proporcionó los cuantiles requeridos con la precisión necesaria.

— Glen_b: reinstala a Mónica el