¿Límites superiores para la densidad de la cópula?

El límite superior Fréchet – Hoeffding se aplica a la función de distribución de cópula y está dado por

C (u_{1}, . . ., u_{d}) \leq min {u_{1}, . ., u_{d}} .

$C(u_1,...,u_d)\leq \min\{u_1,..,u_d\}.$

¿Existe un límite superior similar (en el sentido de que depende de las densidades marginales) para la densidad de la cópula lugar del CDF? $c(u_1,...,u_d)$

Cualquier referencia sería muy apreciada.

— Coppola
fuente

¿Qué tipo de límite estás buscando? Una descripción de su problema real podría ayudar. Técnicamente, la respuesta es "no" de dos maneras diferentes: (i) puede que no haya una densidad (!) Y (b) si la hubiera, podríamos cambiarla en un conjunto de medida cero para que sea tan grande como nosotros " d me gusta. Sin embargo, sabemos algo . En particular, suponga que existe y deje que sea cualquier rectángulo (hiper) con longitudes laterales . Entonces, ciertamente

c

$c$

R = [a_{1}, b_{1}] \times \dots \times [a_{n}, b_{n}] \subset [0, 1]^{d}

$R = [a_1,b_1] \times \dots \times [a_n,b_n] \subset \mathbb [0,1]^d$

w_{i} = b_{i} - a_{i}

$w_i = b_i - a_i$

{e s s i n f}_{x \in R} c (x) \leq (min_{i} w_{i}) / \prod_{i} w_{i} .

$\mathrm{ess\,inf}_{x \in R} \,c(x) \leq (\min_i w_i) / \prod_i w_i \>.$

— cardenal

Como puede construir fácilmente ejemplos que satisfagan este límite, sospecho que no hay mucho más que se pueda decir. Pero, no he pensado en eso con cuidado.

— cardenal

@cardinal Gracias por tus comentarios. De hecho, estoy asumiendo que la densidad existe para evitar el caso trivial. Estaba buscando un límite superior en términos de densidades marginales. Estoy particularmente interesado en la cópula gaussiana.

— Coppola

Si es una cópula, todas las densidades marginales son uniformes, es decir, una función constante. :)

— cardenal

@ Cardenal Perdón mi francés. Déjame reformular mi pregunta. La cópula gaussiana (en la que estoy particularmente interesado) viene dada por . Donde y . Esto, por ejemplo, no puede estar limitado por el producto . Entonces, estaba buscando otro límite superior que involucra solo a los marginales. Y, por supuesto, estaba tratando de hacer la pregunta de una manera más general, relacionándola con los límites antes mencionados. Disculpas por mis vagas palabras.

s (x_{1}, . . ., x_{d}; R) = \frac{1}{det (R)^{1 / 2}} \exp (- 0.5 u^{T} (R^{- 1} - I) u) \prod_{j = 1}^{d} f_{j} (x_{j})

$s(x_1,...,x_d;R)=\dfrac{1}{\mbox{det}(R)^{1/2}}\exp(-0.5 u^T(R^{-1}-I)u) \prod_{j=1}^d f_j(x_j)$

u = (u_{1}, . . ., u_{d})

$u=(u_1,...,u_d)$

u_{j} = Φ^{- 1} (F_{j} (x_{j}))

$u_j=\Phi^{-1}(F_j(x_j))$

\prod_{j = 1}^{n} f_{j} (x_{j})

$\prod_{j=1}^n f_j(x_j)$

— Coppola

En términos generales, no, no hay. Por ejemplo, en el caso de la cópula gaussiana bivariada, la cantidad en el exponente tiene un punto de silla en (0,0) y, por lo tanto, explota hasta el infinito en dos direcciones. Si se encuentra con una clase de densidades de cópula que de hecho están limitadas, ¡hágamelo saber!

— MHankin
fuente

¿Podría aclarar qué quiere decir con "cantidad en el exponente"? La presencia de un "punto de silla de montar" no parece coherente con ninguna definición estándar de una distribución gaussiana.

— whuber

@whuber La densidad de una cópula gaussiana no es una gaussiana estándar. Si observa el comentario de coppola arriba, notará que la densidad de cópula gaussiana tiene un donde esperaría solo la matriz de covarianza inversa. La matriz de covarianza inversa debe ser simétrica positiva semi-definida, pero el -I permite una definición no positiva y, por lo tanto, un punto de silla de montar. Su presencia se debe al cambio de variables al convertir de a

R^{- 1} - I

$R^{-1}-I$

R^{n}

$\mathbb{R}^n$

[0, 1]^{n}

$[0,1]^n$

— MHankin

Sí, soy consciente de eso, pero eso no es lo que su respuesta implica. Esta cópula está parametrizada por la matriz de correlación , pero para cualquiera de tales es función de solamente. Como tal, nunca "explota hasta el infinito". No hay matrices de correlación válidas (es decir, no degeneradas) para las cuales esta cópula no tiene límites. Esas son las razones por las que solicité una aclaración de su respuesta.

R

$R$

R

$R$

x_{i}

$x_i$

R

$R$

— whuber

@whuber Te acabo de enviar por correo electrónico una versión editable de una descripción más detallada de mi ejemplo. Avíseme si cree que parece correcto, en cuyo caso lo agregaré a mi respuesta anterior. [read_only_version] { overleaf.com/read/bkyjjtmmmnpb }

— MHankin