Transformación para aumentar la curtosis y la asimetría de la RV normal.

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Estoy trabajando en un algoritmo que se basa en el hecho de que las observaciones s se distribuyen normalmente, y me gustaría probar empíricamente la robustez del algoritmo a este supuesto. $Y$

Para hacer esto, yo estaba buscando una secuencia de transformaciones que pueda interrumpir progresivamente la normalidad de . Por ejemplo, si las s son normales, tienen asimetría y curtosis , y sería bueno encontrar una secuencia de transformación que aumente progresivamente ambas. $T_1(), \dots, T_n()$ $Y$ $Y$ $= 0$ $= 3$

Mi idea era simular algunos datos normalmente distribuidos aproximadamente y probar el algoritmo en eso. Luego, pruebe el algoritmo en cada conjunto de datos transformado , para ver cuánto está cambiando la salida. $Y$ $T_1(Y), \dots, T_n(y)$

Tenga en cuenta que no controlo la distribución de las s simuladas , por lo que no puedo simularlas usando una distribución que generalice lo Normal (como la Distribución de error generalizado sesgado). $Y$

— Matteo Fasiolo
fuente

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El problema con una secuencia de transformaciones como esa es que su conclusión se limita a los efectos de esa secuencia en particular. En efecto, su secuencia trazará una ruta en el espacio

correspondiente a una sola familia de distribuciones basada en una transformación (presumiblemente un parámetro, ya que usted dice 'secuencia') de lo normal. Suponga que la región viable

es 2D y que para cualquier punto dado dentro de ella hay un número infinito de distribuciones diferentes, mirar una sola familia trazando una sola curva sería algo limitante ... (ctd )

(γ_{1}, γ_{2})

$(\gamma_1,\gamma_2)$

(γ_{1}, γ_{2})

$(\gamma_1,\gamma_2)$

— Glen_b -Reinstate Monica

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(ctd) ... especialmente si la familia particular que genera no tiende a revelar problemas que de otro modo podrían ser bastante comunes.

— Glen_b -Reinstala a Monica

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Esto se puede hacer usando la transformación sinh-arcsinh de

Jones, MC y Pewsey A. (2009). Distribuciones sinh-arcsinh . Biometrika 96: 761–780.

La transformación se define como

\begin{matrix} (⋆) & H (X; ϵ, δ) = \sinh [δ \sinh^{- 1} (X) - ϵ], \end{matrix}

$H(x;\epsilon,\delta)=\sinh[\delta\sinh^{-1}(x)-\epsilon], \tag{$\star$}$

donde y . Cuando esta transformación se aplica al CDF normal , produce una distribución unimodal cuyos parámetros controlan la asimetría y la curtosis, respectivamente (Jones y Pewsey, 2009), en el sentido de van Zwet (1969) . Además, si y $\epsilon \in{\mathbb R}$ $\delta \in {\mathbb R}_+$ $S(x;\epsilon,\delta)=\Phi[H(x;\epsilon,\delta)]$ $(\epsilon,\delta)$ $\epsilon=0$ , obtenemos la distribución normal original. Vea el siguiente código R. $\delta=1$

fs = function(x,epsilon,delta) dnorm(sinh(delta*asinh(x)-epsilon))*delta*cosh(delta*asinh(x)-epsilon)/sqrt(1+x^2)

vec = seq(-15,15,0.001)

plot(vec,fs(vec,0,1),type="l")
points(vec,fs(vec,1,1),type="l",col="red")
points(vec,fs(vec,2,1),type="l",col="blue")
points(vec,fs(vec,-1,1),type="l",col="red")
points(vec,fs(vec,-2,1),type="l",col="blue")

vec = seq(-5,5,0.001)

plot(vec,fs(vec,0,0.5),type="l",ylim=c(0,1))
points(vec,fs(vec,0,0.75),type="l",col="red")
points(vec,fs(vec,0,1),type="l",col="blue")
points(vec,fs(vec,0,1.25),type="l",col="red")
points(vec,fs(vec,0,1.5),type="l",col="blue")

Por lo tanto, al elegir una secuencia apropiada de parámetros , puede generar una secuencia de distribuciones / transformaciones con diferentes niveles de asimetría y curtosis y hacer que se vean tan similares o diferentes a la distribución normal como desee. $(\epsilon_n,\delta_n)$

La siguiente gráfica muestra el resultado producido por el código R. Para (i) y , y (ii) y . $\epsilon=(-2,-1,0,1,2)$ $\delta=1$ $\epsilon=0$ $\delta=(0.5,0.75,1,1.25,1.5)$

ingrese la descripción de la imagen aquí

La simulación de esta distribución es sencilla dado que solo tiene que transformar una muestra normal usando el inverso de . $(\star)$

H^{- 1} (X; ϵ, δ) = \sinh [δ^{- 1} (\sinh^{- 1} (X) + ϵ)]

$H^{-1}(x;\epsilon,\delta)=\sinh[\delta^{-1}(\sinh^{-1}(x)+\epsilon)]$

2

Muchas gracias Procrastinator! Esto es exactamente lo que estaba buscando.

— Matteo Fasiolo

2

Parece que gamlss.dist::rSHASHopuede generar estas distribuciones.

— Artem Klevtsov

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Esto se puede hacer usando distribuciones / variables aleatorias Lambert W x F. Una variable aleatoria (RV) Lambert W x F es una X transformada no linealmente (RV) con distribución F.

$\alpha = 1$ Gaussianize()

Se implementan en el

Las transformaciones Lambert W x F vienen en 3 sabores:

type = 's' $\gamma \in R$
type = 'h' $\delta \geq 0$ $\alpha$
type = 'hh' $\delta_l, \delta_r \geq 0$

Ver referencias en sesgo y cola (s) (Descargo de responsabilidad: soy el autor).

En R puede simular, estimar, trazar, etc. varias distribuciones Lambert W x F con el paquete LambertW .

library(LambertW)
library(RColorBrewer)
# several heavy-tail parameters
delta.v <- seq(0, 2, length = 11)
x.grid <- seq(-5, 5, length = 100)
col.v <- colorRampPalette(c("black", "orange"))(length(delta.v))

plot(x.grid, dnorm(x.grid), lwd = 2, type = "l", col = col.v[1],
     ylab = "")
for (ii in seq_along(delta.v)) {
  lines(x.grid, dLambertW(x.grid, "normal", 
                          theta = list(delta = delta.v[ii], beta = c(0, 1))),
        col = col.v[ii])
}
legend("topleft", paste(delta.v), col = col.v, lty = 1,
       title = "delta = ")

ingrese la descripción de la imagen aquí

$\gamma$ $\delta_l$ $\delta_r$

— Georg M. Goerg
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Una de esas secuencias es la exponenciación en varios grados. P.ej

library(moments)
x <- rnorm(1000) #Normal data
x2 <- 2^x #One transformation
x3 <- 2^{x^2} #A stronger transformation
test <- cbind(x, x2, x3) 
apply(test, 2, skewness) #Skewness for the three distributions
apply(test, 2, kurtosis) #Kurtosis for the three distributions

$x^{1.1}, x^{1.2} \dots x^2$

— Peter Flom - Restablece a Monica
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0

Misma respuesta que @ user10525 pero en python

import numpy as np
from scipy.stats import norm
def sinh_archsinh_transformation(x,epsilon,delta):
    return norm.pdf(np.sinh(delta*np.arcsinh(x)-epsilon))*delta*np.cosh(delta*np.arcsinh(x)-epsilon)/np.sqrt(1+np.power(x,2))


vec = np.arange(start=-15,stop=15+0.001,step=0.001)

import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(vec,sinh_archsinh_transformation(vec,0,1))
plt.plot(vec,sinh_archsinh_transformation(vec,1,1),color='red')
plt.plot(vec,sinh_archsinh_transformation(vec,2,1),color='blue')
plt.plot(vec,sinh_archsinh_transformation(vec,-1,1),color='red')
plt.plot(vec,sinh_archsinh_transformation(vec,-2,1),color='blue')

[

— JPlatts
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