¿El valor de una función de densidad de probabilidad para una entrada dada es un punto, un rango o ambos?

Esta publicación dice

Se utiliza un PDF para especificar la probabilidad de que la variable aleatoria caiga dentro de un rango particular de valores, en lugar de tomar cualquier valor.

¿Es verdad?

Este es el PDF de la distribución normal estándar.

φ (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2}

$\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$

conecte x = 0 en la fórmula anterior, puedo obtener la probabilidad de tomar un valor.

¿Esa publicación significa que el PDF podría usarse tanto para punto como para intervalo?

distributions terminology

— yaojp
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Esta respuesta de Whuber entra en más detalles sobre cómo interpretar el valor del PDF en cierto punto.

— COOLSerdash

Bienvenido a CV yaojp. Sospecho que la notación puede estar jugando un papel en tu perplejidad: el

φ (x)

$\varphi(x)$ La función es la función de distribución acumulativa de la distribución normal estándar que es explícitamente una integral de

- \infty

$-\infty$ a

x

$x$ entonces sus probabilidades distintas de cero deben provenir de intervalos.

— Alexis

También puede interpretar la densidad de la siguiente manera: durante un intervalo muy pequeño

[x - ϵ, x + ϵ]

$[x-\epsilon, x+\epsilon]$ se mantiene:

P (X \in [x - ϵ, x + ϵ]) \approx 2 ϵ f (x)

$P(X \in [x-\epsilon,x+\epsilon]) \approx 2\epsilon f(x)$

— Sebastian

Respuestas:

La cita es cierta. Cuando enchufas $x=0$ a la función PDF, NO obtiene la probabilidad de tomar este valor en particular. El número resultante es la densidad de probabilidad que no es una probabilidad. La probabilidad de tomar exactamente $x=0$ es cero (considere el número infinito de valores de probabilidad similar en el pequeño intervalo $x\in[0,10^{-100}]$ )

Para convencerte aún más de que esto $\varphi(x)$ no puede ser una probabilidad, considere disminuir la desviación estándar de su distribución normal de $\sigma = 1$ a $\sigma = \frac{1}{100}$ . Ahora, $\varphi(0)=\frac{100}{\sqrt{2\pi}}$ - Mucho más de uno. No es una probabilidad

— Trisoloriansunscreen
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Gracias por tu respuesta. Que es

x \in [{0..10}^{- 100}]

$x\in[0..10^{-100}]$ ¿para? ¿Es discreto? ¿Podría dar una notación establecida, algo así como

{0, . . ., 10^{- 99}, 10^{- 100}}

$\{0, ..., 10^{-99}, 10^{-100}\}$ ?

— yaojp

Perdón por la notación descuidada. Continuo, no discreto: todos los números entre 0 y

10^{- 100}

$10^{-100}$ . El punto es que si

φ (x)

$\varphi(x)$ era la probabilidad de tomar un valor en particular, la probabilidad total de este pequeño intervalo sería infinito.

— Trisoloriansunscreen

+1 Bienvenido a CV, @Trisoloriansunscreen. ¿Me divierte su nombre, suponiendo que lo hago, que hace referencia a la trilogía de Cixin Liu?

— Alexis

@Alexis, correcto :)

— Trisoloriansunscreen

Desarrollando un poco la respuesta de Trisoloriansunscreen : es muy cierto que solo tienes una función de densidad de probabilidad . Me gustaría dibujar una analogía para ti. Imagine que tiene un objeto 3D, digamos alguna nave espacial compleja, y conoce la densidad de masa en cada punto.

Por ejemplo, algunas partes de la nave espacial pueden contener agua, que tiene una densidad de masa de $997 \frac{\text{g}}{\text{l}}$ . ¿Esto ya te dice algo sobre la masa de toda la nave espacial? ¡No, no lo hace! Precisamente porque solo conoces este valor en un punto específico. No tienes información sobre cuánta agua hay en realidad. Puede ser $1\ \text{ml}$ o $1\ \text{l}$ .

Ahora suponga que sabe la cantidad de agua, digamos $2\ \text{l}$ . Por simple multiplicación $997 \frac{\text{g}}{\text{l}} \cdot 2\ \text{l}$ , obtienes más o menos $1994\ \text{g}$ . ¡Me gustaría aclarar que acabas de hacer la integración disfrazada! Considere la siguiente imagen:

La masa que calculó es solo el área rectangular sombreada en verde. Esto solo era factible como una simple multiplicación porque la densidad de masa era constante para la cantidad de agua considerada y por lo tanto producía un área rectangular.

¿Qué pasaría si tuviera formas mixtas de agua, por ejemplo, algunas gaseosas, algunas líquidas, otras a temperaturas variables, etc.? Podría verse así:

Ahora, para calcular la masa, necesitaría integrar esa función de densidad de masa sobre la cantidad de agua. ¿Ves el paralelo a las funciones de densidad de probabilidad ahora? Para obtener una probabilidad real (cf. masa) necesita integrar la densidad de probabilidad (cf. densidad de masa) sobre algún dominio.

— ComFreek
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@Downvoter: ¿Podría incluir comentarios constructivos en un comentario? :)

— ComFreek