¿Cómo puedo ajustar una spline a los datos que contienen valores y derivados 1º / 2º?

Tengo un conjunto de datos que contiene, digamos, algunas mediciones de posición, velocidad y aceleración. Todos provienen de la misma "carrera". Podría construir un sistema lineal y ajustar un polinomio a todas esas medidas.

¿Pero puedo hacer lo mismo con splines? ¿Cuál es una forma 'R' de hacer esto?

Aquí hay algunos datos simulados que me gustaría ajustar:

f <- function(x) 2+x-0.5*x^2+rnorm(length(x), mean=0, sd=0.1)
df <- function(x) 1-x+rnorm(length(x), mean=0, sd=0.3)
ddf <- function(x) -1+rnorm(length(x), mean=0, sd=0.6)

x_f <- runif(5, 0, 5)
x_df <- runif(8, 3, 8)
x_ddf <- runif(10, 4, 9)

data <- data.frame(type=rep('f'), x=x_f, y=f(x_f))
data <- rbind(data, data.frame(type=rep('df'), x=x_df, y=df(x_df)))
data <- rbind(data, data.frame(type=rep('ddf'), x=x_ddf, y=ddf(x_ddf)))

library(ggplot2)
ggplot(data, aes(x, y, color=type)) + geom_point()


library(splines)
m <- lm(data$y ~ bs(data$x, degree=6)) # but I want to fit on f, df, ddf. possible?

Describiremos cómo se puede usar una spline a través de las técnicas de filtrado de Kalman (KF) en relación con un modelo de espacio de estado (SSM). El hecho de que algunos modelos spline puedan ser representados por SSM y calculados con KF fue revelado por CF Ansley y R. Kohn en los años 1980-1990. La función estimada y sus derivados son las expectativas del estado condicionadas a las observaciones. Estas estimaciones se calculan utilizando un suavizado de intervalo fijo , una tarea de rutina cuando se utiliza un SSM.

En aras de la simplicidad, suponga que las observaciones se realizan en los momentos $t_1 < t_2 < \dots < t_n$ y que el número de observación $k$ en $t_k$ involucra solo una derivada con el orden $d_k$ en $\{0,\,1,\,2\}$ . La parte de observación del modelo se escribe como

$$\tag{O1} y(t_k) = f^{[d_k]}(t_k) + \varepsilon(t_k)$$ donde$f(t)$ denota lafunciónverdaderano observaday$\varepsilon(t_k)$ es un error gaussiano con varianza$H(t_k)$ dependiendo del orden de derivación$d_k$. La ecuación de transición (tiempo continuo) toma la forma general donde es el vector de estado no observado y es un ruido blanco gaussiano con covarianza , se supone que es independiente del ruido de observación r.vs . Para describir una spline, consideramos un estado obtenido al apilar las primeras derivadas, es decir, . La transición es $$\tag{T1} \frac{\text{d}}{\text{d}t}\boldsymbol{\alpha}(t) = \mathbf{A} \boldsymbol{\alpha}(t) + \boldsymbol{\eta}(t)$$ $\boldsymbol{\alpha}(t)$$\boldsymbol{\eta}(t)$$\mathbf{Q}$$\varepsilon(t_k)$$m$$\boldsymbol{\alpha}(t) := [f(t),\, f^{[1]}(t), \, \dots,\, f^{[m-1]}(t)]^\top$ $$\begin{bmatrix} f^{[1]}(t) \\ f^{[2]}(t) \\ \vdots \\ f^{[m-1]}(t) \\ f^{[m]}(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & &\\ 0 & 0 & 1 & & \\ \vdots & & & \ddots &\\ & & & & 1\\ 0 & \dots & & & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f(t) \\ f^{[1]}(t) \\ \vdots \\ f^{[m-2]}(t)\\ f^{[m-1]}(t) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots\\ 0 \\ \eta(t) \end{bmatrix}$$ 2m2m-1m=2>1 y ( t k ) y luego obtenemos una spline polinomial con orden (y grado ). Mientras que corresponde a la spline cúbica habitual,$2m$$2m-1$$m=2$$>1$. Para mantener un formalismo SSM clásico, podemos reescribir (O1) como donde la matriz de observación selecciona la derivada adecuada en y la varianza de se elige dependiendo de . Entonces donde , y . Del mismo modo $$\tag{O2} y(t_k) = \mathbf{Z}(t_k) \boldsymbol{\alpha}(t_k) + \varepsilon(t_k),$$ $\mathbf{Z}(t_k)$$\boldsymbol{\alpha}(t_k)$$H(t_k)$$\varepsilon(t_k)$$d_k$$\mathbf{Z}(t_k) = \mathbf{Z}^\star_{d_k + 1}$$\mathbf{Z}^\star_1 := [1,\,0,\,\dots,\,0]$$\mathbf{Z}^\star_2 := [0,\,1,\,\dots\,0]$$\mathbf{Z}^\star_3 := [0,\,0,\,1, 0,\,\dots]$$H(t_k) = H^\star_{d_k+1}$ H ⋆ 1 H ⋆ 2 H ⋆ 3para tres variaciones , y . $H^\star_1$$H^\star_2$$H^\star_3$

Aunque la transición es en tiempo continuo, el KF es en realidad un tiempo discreto estándar . De hecho, en la práctica nos centraremos en los tiempos donde tenemos una observación, o donde queremos estimar las derivadas. Podemos tomar el conjunto como la unión de estos dos conjuntos de tiempos y asumir que puede faltar la observación en : esto permite estimar las derivadas en cualquier momento independientemente de la existencia de una observación. Queda por derivar el SSM discreto.$t$$\{t_k\}$$t_k$$m$$t_k$

Usaremos índices para tiempos discretos, escribiendo para y así sucesivamente. El SSM de tiempo discreto toma la forma donde las matrices y se derivan de (T1) y (O2) mientras que la varianza de viene dada por siempre que$\boldsymbol{\alpha}_k$$\boldsymbol{\alpha}(t_k)$

$$\begin{align*} \tag{DT} \boldsymbol{\alpha}_{k+1} &= \mathbf{T}_k \,\boldsymbol{\alpha}_{k} + \boldsymbol{\eta}^\star_{k}\\ y_k &= \mathbf{Z}_k\boldsymbol{\alpha}_k + \varepsilon_k \end{align*}$$ $\mathbf{T}_k$$\mathbf{Q}_k^\star := \text{Var}(\boldsymbol{\eta}_k^\star)$$\varepsilon_k$$H_k=H^\star_{d_k+1}$$y_k$Tk=exp{δkA}=[ 1 δ 1 kNo falta. Usando algo de álgebra podemos encontrar la matriz de transición para el SSM de tiempo discreto where para . De manera similar, la matriz de covarianza para el SSM de tiempo discreto se puede dar como $$\mathbf{T}_k = \exp\left\{ \delta_k \mathbf{A} \right\} = \begin{bmatrix} 1 & \frac{\delta_k^1}{1!} & \frac{\delta_k^2}{2!} & \dots & \frac{\delta_k^{m-1}}{(m-1)!}\\ 0 & 1 & \frac{\delta_k^1}{1!} & & \\ \vdots & & & \ddots &\\ & & & & \frac{\delta_k^1}{1!}\\ 0 & \dots & & & 1 \end{bmatrix}, \qquad$$
$\delta_k:= t_{k+1} - t_{k}$$k<n$$\mathbf{Q}^\star_k = \text{Var} (\boldsymbol{\eta}_k^\star)$ $$\mathbf{Q}^\star_k= \sigma_\eta^2 \, \left[\frac{\delta_k^{2m-i-j+1}}{(m-i)!(m-j)! (2m-i-j+1)}\right]_{i,j}$$ donde los índices y están entre y .$i$$j$$1$$m$

Ahora, para transferir el cálculo en R, necesitamos un paquete dedicado a KF y que acepte modelos que varían con el tiempo; El paquete CRAN KFAS parece una buena opción. Podemos escribir funciones R para calcular las matrices y partir del vector de tiempos para codificar el SSM (DT). En las anotaciones utilizadas por el paquete, una matriz viene a multiplicar el ruido en la ecuación de transición de (DT): lo consideramos aquí como la identidad . También tenga en cuenta que aquí debe usarse una covarianza inicial difusa.$\mathbf{T}_k$$\mathbf{Q}^\star_k$$t_k$$\mathbf{R}_k$$\boldsymbol{\eta}^\star_k$$\mathbf{I}_m$

EDITAR La como se escribió inicialmente era incorrecta. Corregido (también en código R e imagen).$\mathbf{Q}^\star$

CF Ansley y R. Kohn (1986) "Sobre la equivalencia de dos enfoques estocásticos para el suavizado de estrías" J. Appl. Probab , 23, págs. 391–405

R. Kohn y CF Ansley (1987) "Un nuevo algoritmo para el suavizado de estrías basado en el suavizado de un proceso estocástico" SIAM J. Sci. y Stat. Comput , 8 (1), págs. 33–48

J. Helske (2017). "KFAS: Modelos de espacio de estado familiar exponencial en R" J. Stat. Suave. , 78 (10), pp. 1-39

smoothWithDer <- function(t, y, d, m = 3,
                          Hstar = c(3, 0.2, 0.1)^2, sigma2eta = 1.0^2) {

    ## define the SSM matrices, depending on 'delta_k' or on 'd_k'
    Tfun <- function(delta) {
        mat <-  matrix(0, nrow = m, ncol = m)
        for (i in 0:(m-1)) {
            mat[col(mat) == row(mat) + i] <- delta^i / gamma(i + 1)
        }
        mat
    }
    Qfun <- function(delta) {
        im <- (m - 1):0
        x <- delta^im / gamma(im + 1)
        mat <- outer(X = x, Y = x, FUN = "*")
        im2 <- outer(im, im, FUN = "+")
        sigma2eta * mat * delta / (im2 + 1) 
    }
    Zfun <-  function(d) {
        Z <- matrix(0.0, nrow = 1, ncol = m)
        Z[1, d + 1] <- 1.0
        Z
    }
    Hfun <- function(d) ifelse(d >= 0, Hstar[d + 1], 0.0)
    Rfun <- function() diag(x = 1.0, nrow = m)

    ## define arrays by stacking the SSM matrices. We need one more
    ## 'delta' at the end of the series
    n <- length(t)
    delta <-  diff(t)
    delta <- c(delta, mean(delta))

    Ta <- Qa <- array(0.0, dim = c(m, m, n))
    Za <- array(0.0, dim = c(1, m, n))
    Ha <- array(0.0, dim = c(1, 1, n))
    Ra <-  array(0.0, dim = c(m, m, n))

    for (k in 1:n) {
        Ta[ , , k] <- Tfun(delta[k])
        Qa[ , , k] <- Qfun(delta[k])
        Za[ , , k] <- Zfun(d[k])
        Ha[ , , k] <- Hfun(d[k])
        Ra[ , , k] <- Rfun()
    }

    require(KFAS)
    ## define the SSM and perform Kalman Filtering and smoothing
    mod <- SSModel(y ~ SSMcustom(Z = Za, T = Ta, R = Ra, Q = Qa, n = n,
                                 P1 = matrix(0, nrow = m, ncol = m),
                                 P1inf = diag(1.0, nrow = m), 
                                 state_names = paste0("d", 0:(m-1))) - 1)
    out <- KFS(mod, smoothing = "state")
    list(t = t, filtered = out$att, smoothed = out$alphahat)

}

## An example function as in OP
f <- function(t, d = rep(0, length = length(t))) {
    f <- rep(NA, length(t))
    if (any(ind <- (d == 0))) f[ind] <- 2.0 + t[ind] - 0.5 * t[ind]^2
    if (any(ind <- (d == 1))) f[ind] <- 1.0 - t[ind]
    if (any(ind <- (d == 2))) f[ind] <- -1.0
    f
}

set.seed(123)
n <-  100
t <- seq(from = 0, to = 10, length = n)
Hstar <- c(3, 0.4, 0.2)^2
sigma2eta <- 1.0

fTrue <- cbind(d0 = f(t), d1 = f(t, d = 1), d2 = f(t, d = 2))

## ============================================================================
## use a derivative index of -1 to indicate non-observed values, where
## 'y' will be NA
##
## [RUN #0]  no derivative  m = 2 (cubic spline)
## ============================================================================
d0 <- sample(c(-1, 0), size = n, replace = TRUE, prob = c(0.7, 0.3))
ft0 <-  f(t, d0)
## add noise picking the right sd
y0 <- ft0 + rnorm(n = n, sd = c(0.0, sqrt(Hstar))[d0 + 2])
res0 <- smoothWithDer(t, y0, d0, m = 2, Hstar = Hstar)

## ============================================================================
## [RUN #1] Only first order derivative: we can take m = 2 (cubic spline)
## ============================================================================
d1 <- sample(c(-1, 0:1), size = n, replace = TRUE, prob = c(0.7, 0.15, 0.15))
ft1 <-  f(t, d1)
y1 <- ft1 + rnorm(n = n, sd = c(0.0, sqrt(Hstar))[d1 + 2])
res1 <- smoothWithDer(t, y1, d1, m = 2, Hstar = Hstar)

## ============================================================================
## [RUN #2] First and second order derivative: we can take m = 3
## (quintic spline)
## ============================================================================
d2 <- sample(c(-1, 0:2), size = n, replace = TRUE, prob = c(0.7, 0.1, 0.1, 0.1))
ft2 <-  f(t, d2)
y2 <- ft2 + rnorm(n = n, sd = c(0.0, sqrt(Hstar))[d2 + 2])
res2 <- smoothWithDer(t, y2, d2, m = 3, Hstar = Hstar)

## plots : a ggplot with facets would be better here.
for (run in 0:2) {
    resrun <- get(paste0("res", run))
    drun <- get(paste0("d", run))
    yrun <- get(paste0("y", run))
    matplot(t, resrun$smoothed, pch = 16, cex = 0.7, ylab = "", xlab = "")
    matlines(t, fTrue, lwd = 2, lty = 1)
    for (dv in 0:2) {
        points(t[drun == dv], yrun[drun == dv], cex = 1.2, pch = 22, lwd = 2,
               bg = "white", col = dv + 1)
    }
    title(main = sprintf("run %d. Dots = smooothed, lines = true, square = obs", run))
    legend("bottomleft", col = 1:3, legend = c("d0", "d1", "d2"), lty = 1)
}

Puede hacerlo espectacularmente bien con una rutina estándar de mínimos cuadrados, siempre que tenga una idea razonable de los tamaños relativos de los errores aleatorios cometidos para cada derivada. No hay restricción en la cantidad de mediciones que realiza para cada valor de , incluso puede medir simultáneamente diferentes derivadas en cada una. La única limitación en el uso de mínimos cuadrados ordinarios (OLS) es la habitual: se supone que las mediciones son independientes.$x$

La idea básica se puede expresar más claramente abstrayendo el problema. Su modelo utiliza un conjunto de funciones (como cualquier base de spline) como base para predecir los valores de una función desconocida en los puntos Esto significa que busca estimar coeficientes para los cuales cada una de las combinaciones lineales aproxima aceptablemente a Llamemos a este espacio (vector) de combinaciones lineales$p$$f_j:\mathbb{R}\to\mathbb{R},$ $j=1, 2, \ldots, p$$y_i = f(x_i)$$f$$(x_1, x_2, \ldots, x_n).$$\beta_j$$\sum_j \beta_j f_j(x_i)$$y_i.$$\mathbb F.$

Lo especial de este problema es que no necesariamente observas el$y_i.$ En cambio, hay un conjunto definido de funciones lineales asociado con los datos. Recuerde que un funcional es una "función de una función": cada asigna un número a cualquier función El modelo postula que$\mathcal{L}_i$$\mathcal{L}_i$$\mathcal{L}_i[f]$$f\in \mathbb F.$

$$y_i = \mathcal{L}_i [f] + \sigma_i \varepsilon_i\tag{1}$$

donde los reciben funciones, el son factores de escala conocidos y el son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas.$\mathcal{L}_i$$\sigma_i \gt 0$$\varepsilon_i$

Dos supuestos adicionales hacen que OLS sea aplicable y estadísticamente significativo:

1. La distribución común de tiene una variación finita.$\varepsilon_i$

2. Cada es un funcional lineal . Un es lineal cuando para cualquier elemento y los números correspondientes$\mathcal{L}_i$$\mathcal L$$f_j\in\mathbb{F}$$\alpha_j,$

   $$\mathcal{L}\left[\sum_j \alpha_j f_j\right] = \sum_j \alpha_j \mathcal{L}\left[f_j\right].$$

(2) permite que el modelo se exprese más explícitamente como$(1)$

$$y_i = \beta_1 \mathcal{L}_i[f_1] + \cdots + \beta_p \mathcal{L}_i[f_p] + \sigma_i \varepsilon_i.$$

El objetivo de esta reducción es que debido a que usted ha estipulado todos los funcionales todas las funciones de base y las desviaciones estándar los valores son todos los números - -se trata de las "variables" o "características" habituales de un problema de regresión, y son meras ponderaciones (relativas). Por lo tanto, en el sentido óptimo del teorema de Gauss-Markov, OLS es un gran procedimiento para usar.$\mathcal{L}_i,$$f_j,$$\sigma_i,$$\mathcal{L}_i[f_j]$$\sigma_i$

Los funcionales involucrados en la pregunta son los siguientes:

• Evalúe en un punto específico Esto es lo que solemos hacer. Esto es lineal porque, por definición, las combinaciones lineales de funciones se evalúan puntualmente.$f$$x:$ $\mathcal{L}[f] = f(x).$

• Evalúe la derivada en un punto específico Esto es lineal porque la diferenciación es lineal.$f^\prime$$x:$ $\mathcal{L}[f] = f^\prime(x).$

• Evalúe la segunda derivada en un punto específico$f^{\prime \prime}$$x:$ $\mathcal{L}[f] = f^{\prime \prime}(x).$

---

Bien, ¿qué tan bien funciona este enfoque? Como de costumbre, estudiaremos los residuos comparando los valores ajustados con los valores observados. Dado que las posiciones, las velocidades y las aceleraciones están en unidades diferentes, deben trazarse en ejes separados.$\hat y_i - y_i$$\hat y_i$

La fila superior usa curvas para graficar y sus dos primeras derivadas. Los puntos de datos relevantes se trazan sobre las curvas: valores observados a la izquierda, derivadas observadas en el medio y segundas derivadas observadas a la derecha.$\hat y$

La fila inferior traza los residuos correspondientes. Como de costumbre, estamos buscando una falta de relación apreciable: esperamos que los valores residuales (sus coordenadas y) varíen aleatoriamente de izquierda a derecha, mostrando independencia y sin tendencias.

Los valores de datos se generaron exactamente como en la pregunta (después de establecer la semilla de número aleatorio en 17 usando para la reproducibilidad). Exploré los ajustes usando los espacios B-spline generados por la función , también como en la pregunta, para los grados 1 a 6. Esta figura muestra los resultados para el grado 2, que es el grado más bajo (es decir, el modelo más simple) exhibiendo un AIC bajo y un buen comportamiento residual, así como el modelo indicado por un ANOVA de los seis modelos (anidados).$n=23$set.seed(17)$\mathbb F$Rbs

El ajuste es

$$\hat y = -27.48993 + 2.54078 f_1 + 2.97679 f_2$$

donde y son las funciones B-spline creadas por .$f_1$$f_2$bs

Los residuos se comportan bien. Los ajustes son buenos. Además, este enfoque encontró el modelo correcto : los datos se generaron a partir de una función cuadrática (grado 2). Además, las desviaciones estándar de los residuos son aproximadamente los tamaños correctos: 0.11, 0.20 y 0.61 en comparación con 0.1, 0.3 y 0.6 utilizados para generar los errores originales. Eso es bastante sorprendente dado que estas curvas obviamente extrapolan las observaciones (que no van más allá de ) y usan un conjunto de datos tan pequeño ( ).$x=5$$n=23$

Finalmente, los residuos de los ajustes para splines de mayor grado son cualitativamente los mismos; solo realizan ligeras mejoras a un costo de usar modelos menos plausibles. Para grados suficientemente altos, comienzan a oscilar violentamente para valores pequeños de entre los valores observados, por ejemplo. Para ilustrar este comportamiento (malo), aquí está el ajuste de grado 9:$x$

Finalmente, aquí hay un ejemplo donde se hicieron múltiples observaciones de varios funcionales lineales de la base. El código para generar estas observaciones cambió de aquel en la pregunta a

mult <- 2
x_f <- rep(runif(5, 0, 5), mult)       # Two observations per point
x_df <- rep(runif(8, 3, 8), mult)      # Two derivatives per point
x_ddf <- c(x_df, rep(runif(10, 4, 9))  # Derivative and acceleration per point

---

El Rcódigo para llevar estos cálculos es bastante general. En particular, utiliza la diferenciación numérica para encontrar las derivadas de modo que no dependa del tipo de spline utilizado. Maneja los diferentes valores de ponderando las observaciones proporcionalmente a Construye y se ajusta automáticamente a un conjunto de modelos en un bucle. Los funcionales lineales y las desviaciones estándar están codificados. Hay tres de cada uno, seleccionados de acuerdo con el valor de la variable en el conjunto de datos.$\sigma_i$$1/\sigma_i^2.$$\mathcal{L}_i$$\sigma_i$type

Como ejemplos de cómo puede usar los ajustes, la Coda imprime resúmenes, una lista de sus AIC y un ANOVA de todos ellos.

#
# Estimate spline derivatives at points of `x`.
#
d <- function(x, s, order=1) {
  h <- diff(range(x, na.rm=TRUE))
  dh <- h * 1e-4
  lags <- seq(-order, order, length.out=order+1) * dh/2
  b <- choose(order, 0:order) * (-1)^(order:0)
  y <- b %*% matrix(predict(s, c(outer(lags, x, `+`))), nrow=length(lags))
  y <- matrix(y / (dh^order), nrow=length(x))
}
#
# Fit and plot models by degree.
#
data$order <- c(f=0, df=1, ddf=2)[data$type]
k <- max(data$order)
x <- data$x
w <- (c(0.1, 0.3, 0.6)^(-2))[data$order+1] # As specified in the question

fits <- lapply(1:6, function(deg) {
  #
  # Construct a model matrix.
  #
  s <- bs(x, degree=deg, intercept=TRUE)
  X.l <- lapply(seq.int(k+1)-1, function(i) {
    X <- subset(data, order==i)
    Y <- as.data.frame(d(X$x, s, order=i))
    cbind(X, Y)
  })
  X <- do.call("rbind", X.l)
  #
  # Fit WLS models.
  #
  f <- as.formula(paste("y ~ -1 +", paste0("V", 0:deg+1, collapse="+")))
  fit <- lm(f, X, weights=w)
  msr <- tapply(residuals(fit), data$order, function(r) {
    k <- length(r) - 1 - deg
    ifelse(k >= 1, sum(r^2) / k, 1)
  })
  #
  # Compute predicted values along the graphs.
  #
  X.new <- data.frame(x = seq(min(X$x), max(X$x), length.out=101))
  X.new$y.hat <- predict(s, X.new$x) %*% coefficients(fit)
  X.new$Dy.hat <- d(X.new$x, s, 1) %*% coefficients(fit)
  X.new$DDy.hat <- d(X.new$x, s, 2) %*% coefficients(fit)
  X$Residual <- residuals(fit)
  #
  # Return the model.
  #
  fit$msr <- msr
  fit
})
lapply(fits, function(f) sqrt(f$msr))
lapply(fits, summary)
lapply(fits, AIC)
do.call("anova", fits)

En primer lugar, quiero agradecerles por plantear esta pregunta. Es una pregunta REALMENTE interesante. Me encantan las estrías y las cosas geniales que puedes hacer con ellas. Y esto me dio una excusa para investigar un poco. :-)

BLUF: La respuesta corta es no. No conozco ninguna funcionalidad en R que haga esto automáticamente. La respuesta larga es ... mucho más complicada. El hecho de que las derivadas y los valores de función no se muestreen en el mismo lugar hace que esto sea más difícil. Y el hecho de que no tenga un valor de función cerca del extremo derecho del intervalo podría hacerlo imposible.

Comencemos con la spline cúbica. Dados los puntos y las segundas derivadas correspondientes , la spline cúbica que las atraviesa es:$(x_j, y_j)$$z_j$

$$S_j(x) = Ay_j + By_{j+1} + Cz_j + Dz_{j+1}$$ donde Es bastante sencillo verificar que , , y . Esto garantiza que la spline y su segunda derivada sean continuas. Sin embargo, en este punto, no tenemos una primera derivada continua . Para forzar que la primera derivada sea continua, necesitamos la siguiente restricción: $$\begin{array}{} h_j & = & x_{j+1} - x_j \\ A & = & \frac{x_{j+1} - x}{h_j} \\ B & = & 1 - A \\ C & = & \frac{1}{6}(A^3 - A)h_j ^2 \\ D & = & \frac{1}{6}(B^3 - B)h_j ^2 \end{array}$$ $S_j(x_j) = y_j$$S_j(x_{j+1}) = y_{j+1}$$S''_j(x_j) = z_j$$S''_j(x_{j+1}) = z_{j+1}$ $$\frac{6}{h_{j-1}}y_{j-1} - \left( \frac{6}{h_{j-1}} + \frac{6}{h_j} \right) y_j + \frac{6}{h_j}y_{j+1} = h_{j-1} z_{j-1} + 2(h_{j-1} + h_j) z_j + h_j z_{j + 1} \tag{1}\label{1}$$ En la configuración clásica de spline cúbica, asume que tiene los puntos y usa la ecuación (junto con dos restricciones de límite adicionales) para resolver . Una vez que conoce , la spline está completamente especificada y puede usarla para interpolar en cualquier punto arbitrario. Como adicional, la ecuación convierte en una matriz tridiagonal que se puede resolver en tiempo lineal.$(x_j, y_j)$$\eqref{1}$$z_j$$z_j$$\eqref{1}$

Bien, ahora suponga que, en lugar de conocer , conoce . ¿Puedes usar la ecuación para resolver ? Desde un punto de vista de álgebra pura, parece factible. Hay ecuaciones y incógnitas, así que ... ¿por qué no? Pero resulta que no puedes; La matriz será singular. Y eso no debería sorprendernos. ¿Cómo podrías interpolar los valores de la función dados SOLO las segundas derivadas? Como mínimo, necesitaría un valor inicial, al igual que una ecuación diferencial.$y_j$$z_j$$\eqref{1}$$y_j$$N$$N$

¿Qué hay de tu situación? Algunos de sus puntos tienen valores de función y algunos de sus puntos tienen derivadas. Por el momento, ignoremos las primeras derivadas (son un desastre para tratar en la base spline cúbica). Formalmente, sea sea ​​el conjunto de puntos con valores de función y sea ​​el conjunto de puntos con segundas derivadas. Todavía tenemos ecuaciones con incógnitas. Es solo que algunas de las incógnitas son y otras son . Resulta que obtendrá una solución si 0, 1 o 2 AND o$(x_i, y_i), i \in \mathcal{I}$$(x_j, z_j), j \in \mathcal{J}$$N$$N$$y_j$$z_j$$\in \mathcal{I}$$N - 3, N - 2$$N - 1 \in \mathcal{I}$. En otras palabras, uno de los primeros tres puntos tiene que ser un valor de función Y uno de los últimos tres puntos tiene que ser un valor de función. Aparte de esa restricción, eres libre de agregar tantos derivados como quieras.

¿Qué tal esos primeros derivados? Ciertamente es posible incluir primeras derivadas en su spline. Pero, como dije, se vuelve mucho más desordenado. La primera derivada de la spline viene dada por: Por supuesto, solo estamos realmente interesados ​​en la derivada en los nudos, por lo que podemos simplificar esto un poco al evaluarlo en : Puede agregar estos restricciones a la matriz que obtienes de la ecuación

$$S'_j(x) = \frac{y_{j+1} - y_j}{h_j} - \frac{3A^2 - 1}{6} h_j z_j + \frac{3B^2 - 1}{6} h_j z_{j+1}$$ $x_j$ $$S'_j(x_j) = \frac{y_{j+1} - y_j}{h_j} - \frac{1}{3} h_j z_j - \frac{1}{6} h_j z_{j+1}$$ $\eqref{1}$y la spline resultante tendrá las primeras derivadas especificadas. Además, esto ayudará con el problema de la matriz singular. Obtendrá una solución si TIENE un valor de función o una primera derivada en los primeros tres y últimos tres puntos.

Así que puse todo junto en un código y aquí está la imagen que obtuve:

Como puede ver, los resultados no son excelentes. Esto se debe a que esta es una spline regular que debe respetar TODOS los datos. Dado que los datos son estocásticos, realmente necesitamos usar una spline de regresión. Ese es un tema para otra publicación. Pero si trabaja con las matemáticas, terminará optimizando una función objetivo cuadrática sujeta a restricciones de igualdad lineal, ¡y hay una solución de forma cerrada!