No hay una solución única
No creo que se pueda recuperar la verdadera distribución de probabilidad discreta, a menos que haga algunas suposiciones adicionales. Su situación es básicamente un problema de recuperación de la distribución conjunta de los marginales. A veces se resuelve mediante el uso de cópulas en la industria, por ejemplo, la gestión de riesgos financieros, pero generalmente para distribuciones continuas.
Presencia, independiente, AS 205
En el problema de presencia, no se permite más de una bomba en una celda. Nuevamente, para el caso especial de independencia, existe una solución computacional relativamente eficiente.
Si conoce FORTRAN, puede usar este código que implementa el Algoritmo AS 205: Ian Saunders, Algoritmo AS 205: Enumeración de tablas R x C con totales repetidos de fila, Estadísticas aplicadas, Volumen 33, Número 3, 1984, páginas 340-352. Está relacionado con algo de Panefield al que @Glen_B se refirió.
Este algo enumera todas las tablas de presencia, es decir, pasa por todas las tablas posibles donde solo hay una bomba en un campo. También calcula la multiplicidad, es decir, varias tablas que se ven iguales, y calcula algunas probabilidades (no las que le interesan). Con este algoritmo, puede ejecutar la enumeración completa más rápido que antes.
Presencia, no independiente
El algoritmo AS 205 se puede aplicar a un caso donde las filas y columnas no son independientes. En este caso, tendría que aplicar diferentes pesos a cada tabla generada por la lógica de enumeración. El peso dependerá del proceso de colocación de bombas.
Condes, independencia
Pji=Pi×PjPiPjP6=3/15=0.2P3=3/15=0.2P36=0.04
Cuenta, no independiente, cópulas discretas
Para resolver el problema de conteo donde las filas y columnas no son independientes, podríamos aplicar cópulas discretas. Tienen problemas: no son únicos. Sin embargo, no los hace inútiles. Entonces, trataría de aplicar cópulas discretas. Puede encontrar una buena descripción de ellos en Genest, C. y J. Nešlehová (2007). Una cartilla sobre cópulas para datos de conteo. Astin Bull. 37 (2), 475–515.
Las cópulas pueden ser especialmente útiles, ya que generalmente permiten inducir explícitamente la dependencia o estimarla a partir de los datos cuando los datos están disponibles. Me refiero a la dependencia de filas y columnas al colocar bombas. Por ejemplo, podría ser el caso cuando si la bomba es una en la primera fila, entonces es más probable que también sea una en la primera columna.
Ejemplo
θC(u,v)=(u−θ+u−θ−1)−1/θ
θ
Independiente
θ=0.000001
Puede ver cómo en la columna 5 la probabilidad de la segunda fila tiene una probabilidad dos veces mayor que la primera fila. Esto no está mal, al contrario de lo que parecía implicar en su pregunta. Todas las probabilidades suman 100%, por supuesto, al igual que los márgenes en los paneles coinciden con las frecuencias. Por ejemplo, la columna 5 en el panel inferior muestra 1/3 que corresponde a 5 bombas declaradas del total de 15 como se esperaba.
Correlacion positiva
θ=10
Correlación negativa
θ=−0.2
Puede ver que todas las probabilidades suman 100%, por supuesto. Además, puede ver cómo la dependencia afecta la forma del PMF. Para la dependencia positiva (correlación) se obtiene el mayor PMF concentrado en la diagonal, mientras que para la dependencia negativa está fuera de la diagonal