¿Las probabilidades negativas / amplitudes de probabilidad tienen aplicaciones fuera de la mecánica cuántica?

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La Mecánica Cuántica ha generalizado la teoría de probabilidad a números negativos / imaginarios, principalmente para explicar patrones de interferencia, dualidad onda / partícula y, en general, cosas extrañas como esa. Sin embargo, puede verse de manera más abstracta como una generalización no conmutativa de la probabilidad bayesiana (cita de Terrence Tao). Tengo curiosidad por estas cosas, aunque de ninguna manera es un experto. ¿Tiene esto alguna aplicación fuera de la mecánica cuántica? Sólo curioso.

probability

— gabgoh
fuente

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Bueno, más o menos. Tampoco soy un experto, pero leí ESTE artículo de Esben Haug y lo encontré bastante interesante.

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Puede interpretar que los cálculos que realizo en stats.stackexchange.com/a/332122/919 ( entre otros ) implican "probabilidades negativas" porque representan distribuciones de probabilidad como mezclas de medidas positivas y negativas. Supongo, entonces, que por "aplicación" se entiende una conceptual , no solo una manipulación matemática.

— whuber

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Sí. Me gusta mucho el artículo que Søren compartió, y junto con las referencias en ese artículo recomendaría Muckenheim, W. et al. (1986) Una revisión de las probabilidades extendidas . Phys. Rep. 133 (6) 337-401. Sin duda, es un documento de física, pero las aplicaciones allí no están relacionadas con la física cuántica.

Mi aplicación favorita personal se relaciona con el Teorema de de Finetti (también de sabor bayesiano): si no nos importan las probabilidades negativas, entonces resulta que todas las secuencias intercambiables (incluso las finitas, tal vez negativamente correlacionadas) son una mezcla (firmada) de secuencias IID . Por supuesto, esto tiene aplicaciones en la mecánica cuántica, en particular, que las estadísticas de Fermi-Dirac producen el mismo tipo de representación de mezcla (firmada) que las estadísticas de Bose-Einstein.

Mi segunda aplicación favorita personal (fuera de la física propiamente dicha) se relaciona con distribuciones divisibles (ID) infinitas , que clásicamente incluyen normal, gamma, poisson, ... la lista continúa. No es demasiado difícil demostrar que las distribuciones de ID deben tener un soporte ilimitado, lo que mata de inmediato las distribuciones como las distribuciones binomiales o uniformes (discretas + continuas). Pero si permitimos probabilidades negativas, entonces estos problemas desaparecen y el binomio, uniforme (discreto + continuo) y muchas otras distribuciones se vuelven infinitamente divisibles; en este sentido extendido , tenga en cuenta. Las distribuciones de ID se relacionan con las estadísticas en el sentido de que son distribuciones limitantes en teoremas de límite central generalizados.

Por cierto, la primera aplicación es folclore susurrada entre probabilistas y la materia infinita divisibilidad se demuestra aquí , una copia electrónica informal estar aquí .

Presumiblemente también hay un montón de material en arXiv , aunque no lo he revisado desde hace bastante tiempo.

$[0,1]$

— Alexis
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+1. Parece que sus "probabilidades negativas" son solo medidas firmadas, ¿verdad?

— whuber

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Gracias. Sí, exactamente correcto, los míos lo son. Los de Khrennikov mencionados en el Haug son completamente diferentes, sin embargo, son límites de frecuencias relativas en algún tipo de topología p-adic. Cosas salvajes y locas.

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Parece una tontería decir que no podemos llamarlas probabilidades. Parece similar a decir que no puedo llamar a números imaginarios "números" también.

— statslearner

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QM no usa probabilidades negativas o imaginarias: si lo hiciera, ¡ya no serían probabilidades!

$\psi$ $<\psi|\psi>$ $\|\psi\|^2$ $\psi$ $\|\psi\|^2 = \psi^* \psi$

Para más detalles, consulte la sección sobre "Postulados de la mecánica cuántica" en el artículo de Wikipedia .

— whuber
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Correcto, entonces la idea es que las interacciones de estado pueden interferir y luego la intersección de dos estados puede "ser negativa".

— isomorfismos

En realidad, la formalización de probabilidad con signo no es la formalización de la función de onda. Para una partícula puntual sin espín, la función de onda es del espacio a : . La formalización de distribución firmada está en el espacio de fase a : . Ver en.wikipedia.org/wiki/Wigner_quasiprobability_distribution . Bueno, la pregunta no estaba clara sobre a qué se refería.

C

$\mathbb{C}$

x \mapsto ψ (x)

$x\mapsto\psi(x)$

R

$\mathbb{R}$

(x, q) \mapsto p (x, q)

$(x,q)\mapsto p(x,q)$

— Benoit Sanchez

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Soy de la opinión de que "¿Cuál es la aplicación de esta teoría?" es una pregunta que los estudiantes de una teoría deberían responder. La profesora McGonagall pasa todo su tiempo enseñando e investigando, depende de sus estudiantes buscar un uso para las cosas en el mundo. (al menos esa es una posición defendible, y la opinión que tomaré ahora)

Entonces, tal vez la pregunta debería ser: primero, comprender el álgebra de las interacciones cuánticas (álgebra de von Neumann); luego, busca cosas en el mundo que se comporten de esta manera. En lugar de "¿Quién más ha hecho este trabajo?"

Dicho esto, un ejemplo que me ha atormentado durante algunos años es el uso de V Danilov y A Lambert-Mogiliansky del álgebra de von Neumann en la teoría de la decisión. Explícitamente no se trata de "mecánica cuántica en el cerebro". En lugar de eso, los "estados interferentes (mentales)" podrían ser una explicación más precisa del comportamiento del consumidor que la imagen habitual:

teoría de la utilidad

— isomorfismos
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No entiendo cómo esto responde a la pregunta en absoluto.

— statslearner

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@Stats Va a la esencia de la pregunta, que trata sobre las aplicaciones , de ahí el significado de las probabilidades no estándar. (Las álgebras de von Neumann conducen inevitablemente a cantidades de valores complejos que finalmente se combinan para producir probabilidades.)

— whuber