¿Cuándo "tiene sentido" un intervalo de confianza pero no el intervalo creíble correspondiente?

A menudo se da el caso de que un intervalo de confianza con una cobertura del 95% es muy similar a un intervalo creíble que contiene el 95% de la densidad posterior. Esto sucede cuando el prior es uniforme o casi uniforme en el último caso. Por lo tanto, un intervalo de confianza a menudo se puede utilizar para aproximar un intervalo creíble y viceversa. Es importante destacar que podemos concluir de esto que la interpretación errónea muy difamada de un intervalo de confianza como un intervalo creíble tiene poca o ninguna importancia práctica para muchos casos de uso simple.

Hay una serie de ejemplos de casos en los que esto no sucede, sin embargo, todos parecen ser engañados por los defensores de las estadísticas bayesianas en un intento de demostrar que hay algo mal con el enfoque frecuentista. En estos ejemplos, vemos que el intervalo de confianza contiene valores imposibles, etc., que se supone que muestran que no tienen sentido.

No quiero volver sobre esos ejemplos, o una discusión filosófica de Bayesiano vs Frequentista.

Solo estoy buscando ejemplos de lo contrario. ¿Existen casos en los que la confianza y los intervalos creíbles son sustancialmente diferentes, y el intervalo proporcionado por el procedimiento de confianza es claramente superior?

Para aclarar: se trata de la situación en la que generalmente se espera que el intervalo creíble coincida con el intervalo de confianza correspondiente, es decir, cuando se usan anteriores planos, uniformes, etc. No estoy interesado en el caso en el que alguien elige un mal arbitrario anterior.

EDITAR: En respuesta a la respuesta de @JaeHyeok Shin a continuación, debo estar en desacuerdo con que su ejemplo utiliza la probabilidad correcta. Utilicé el cálculo bayesiano aproximado para estimar la distribución posterior correcta para theta a continuación en R:

### Methods ###
# Packages
require(HDInterval)

# Define the likelihood
like <- function(k = 1.2, theta = 0, n_print = 1e5){
  x    = NULL
  rule = FALSE
  while(!rule){
    x     = c(x, rnorm(1, theta, 1))
    n     = length(x)
    x_bar = mean(x)

    rule = sqrt(n)*abs(x_bar) > k

    if(n %% n_print == 0){ print(c(n, sqrt(n)*abs(x_bar))) }
  }
  return(x)
}

# Plot results
plot_res <- function(chain, i){
    par(mfrow = c(2, 1))
    plot(chain[1:i, 1], type = "l", ylab = "Theta", panel.first = grid())
    hist(chain[1:i, 1], breaks = 20, col = "Grey", main = "", xlab = "Theta")
}


### Generate target data ### 
set.seed(0123)
X = like(theta = 0)
m = mean(X)


### Get posterior estimate of theta via ABC ###
tol   = list(m = 1)
nBurn = 1e3
nStep = 1e4


# Initialize MCMC chain
chain           = as.data.frame(matrix(nrow = nStep, ncol = 2))
colnames(chain) = c("theta", "mean")
chain$theta[1]  = rnorm(1, 0, 10)

# Run ABC
for(i in 2:nStep){
  theta = rnorm(1, chain[i - 1, 1], 10)
  prop  = like(theta = theta)

  m_prop = mean(prop)


  if(abs(m_prop - m) < tol$m){
    chain[i,] = c(theta, m_prop)
  }else{
    chain[i, ] = chain[i - 1, ]
  }
  if(i %% 100 == 0){ 
    print(paste0(i, "/", nStep)) 
    plot_res(chain, i)
  }
}

# Remove burn-in
chain = chain[-(1:nBurn), ]

# Results
plot_res(chain, nrow(chain))
as.numeric(hdi(chain[, 1], credMass = 0.95))

Este es el intervalo de 95% creíble:

> as.numeric(hdi(chain[, 1], credMass = 0.95))
[1] -1.400304  1.527371

EDITAR # 2:

Aquí hay una actualización después de los comentarios de @JaeHyeok Shin. Estoy tratando de mantenerlo lo más simple posible, pero el guión se volvió un poco más complicado. Cambios principales:

Ahora usando una tolerancia de 0.001 para la media (era 1)
Mayor número de pasos a 500k para tener en cuenta una tolerancia menor
Disminuyó el SD de la distribución de la propuesta a 1 para tener en cuenta una tolerancia menor (era 10)
Se agregó la probabilidad de tormenta simple con n = 2k para la comparación
Se agregó el tamaño de muestra (n) como estadística de resumen, establezca la tolerancia en 0.5 * n_target

Aquí está el código:

### Methods ###
# Packages
require(HDInterval)

# Define the likelihood
like <- function(k = 1.3, theta = 0, n_print = 1e5, n_max = Inf){
  x    = NULL
  rule = FALSE
  while(!rule){
    x     = c(x, rnorm(1, theta, 1))
    n     = length(x)
    x_bar = mean(x)
    rule  = sqrt(n)*abs(x_bar) > k
    if(!rule){
     rule = ifelse(n > n_max, TRUE, FALSE)
    }

    if(n %% n_print == 0){ print(c(n, sqrt(n)*abs(x_bar))) }
  }
  return(x)
}


# Define the likelihood 2
like2 <- function(theta = 0, n){
  x = rnorm(n, theta, 1)
  return(x)
}



# Plot results
plot_res <- function(chain, chain2, i, main = ""){
    par(mfrow = c(2, 2))
    plot(chain[1:i, 1],  type = "l", ylab = "Theta", main = "Chain 1", panel.first = grid())
    hist(chain[1:i, 1],  breaks = 20, col = "Grey", main = main, xlab = "Theta")
    plot(chain2[1:i, 1], type = "l", ylab = "Theta", main = "Chain 2", panel.first = grid())
    hist(chain2[1:i, 1], breaks = 20, col = "Grey", main = main, xlab = "Theta")
}


### Generate target data ### 
set.seed(01234)
X    = like(theta = 0, n_print = 1e5, n_max = 1e15)
m    = mean(X)
n    = length(X)
main = c(paste0("target mean = ", round(m, 3)), paste0("target n = ", n))



### Get posterior estimate of theta via ABC ###
tol   = list(m = .001, n = .5*n)
nBurn = 1e3
nStep = 5e5

# Initialize MCMC chain
chain           = chain2 = as.data.frame(matrix(nrow = nStep, ncol = 2))
colnames(chain) = colnames(chain2) = c("theta", "mean")
chain$theta[1]  = chain2$theta[1]  = rnorm(1, 0, 1)

# Run ABC
for(i in 2:nStep){
  # Chain 1
  theta1 = rnorm(1, chain[i - 1, 1], 1)
  prop   = like(theta = theta1, n_max = n*(1 + tol$n))
  m_prop = mean(prop)
  n_prop = length(prop)
  if(abs(m_prop - m) < tol$m &&
     abs(n_prop - n) < tol$n){
    chain[i,] = c(theta1, m_prop)
  }else{
    chain[i, ] = chain[i - 1, ]
  }

  # Chain 2
  theta2  = rnorm(1, chain2[i - 1, 1], 1)
  prop2   = like2(theta = theta2, n = 2000)
  m_prop2 = mean(prop2)
  if(abs(m_prop2 - m) < tol$m){
    chain2[i,] = c(theta2, m_prop2)
  }else{
    chain2[i, ] = chain2[i - 1, ]
  }

  if(i %% 1e3 == 0){ 
    print(paste0(i, "/", nStep)) 
    plot_res(chain, chain2, i, main = main)
  }
}

# Remove burn-in
nBurn  = max(which(is.na(chain$mean) | is.na(chain2$mean)))
chain  = chain[ -(1:nBurn), ]
chain2 = chain2[-(1:nBurn), ]


# Results
plot_res(chain, chain2, nrow(chain), main = main)
hdi1 = as.numeric(hdi(chain[, 1],  credMass = 0.95))
hdi2 = as.numeric(hdi(chain2[, 1], credMass = 0.95))


2*1.96/sqrt(2e3)
diff(hdi1)
diff(hdi2)

Los resultados, donde hdi1 es mi "probabilidad" y hdi2 es la simple rnorm (n, theta, 1):

> 2*1.96/sqrt(2e3)
[1] 0.08765386
> diff(hdi1)
[1] 1.087125
> diff(hdi2)
[1] 0.07499163

Entonces, después de reducir la tolerancia lo suficiente, y a expensas de muchos más pasos de MCMC, podemos ver el ancho CrI esperado para el modelo rnorm.

— Lívido
fuente

No está duplicado, pero tiene una estrecha relación con stats.stackexchange.com/questions/419916/…

— user158565

Generalmente, cuando tiene un previo informativo que está bastante mal, en un sentido informal, por ejemplo, Normal (0,1) cuando el valor real es -3.6, su intervalo creíble en ausencia de muchos datos será bastante pobre cuando visto desde una perspectiva frecuentista.

— jbowman

@jbowman Esto es específicamente sobre el caso cuando se usa un uniforme previo o algo así como N (0, 1e6).

— Lívido el

Hace décadas, el verdadero Bayesiano llamaba al estadístico que usaba información previa no informativa como pseudo- (o falso) Bayesiano.

— user158565

@ user158565 Esto es offtopic pero un previo uniforme es solo una aproximación. Si p (H_0) = p (H_1) = p (H_2) = ... = p (H_n), todos los anteriores pueden abandonar la regla de Bayes, lo que facilita el cálculo. No es más incorrecto que eliminar pequeños términos de un denominador cuando tiene sentido.

— Lívido el

Respuestas:

En un diseño experimental secuencial, el intervalo creíble puede ser engañoso.

(Descargo de responsabilidad: no estoy argumentando que no es razonable, es perfectamente razonable en el razonamiento bayesiano y no es engañoso desde la perspectiva del punto de vista bayesiano).

$X$ $N(\theta,1)$ $\theta$ $n$ $\sqrt{n} \bar{X}_n > k$ $k$ $N$

N = inf {n \geq 1 : \sqrt{n} {\bar{X}}_{n} > k} .

$N = \inf\left\{n \geq 1 : \sqrt{n}\bar{X}_n > k \right\}.$

$P_{\theta}(N < \infty) = 1$ $\theta \in \mathbb{R}$

$\theta$ $\pi(\theta)$ $\theta \sim N(0, 10))$ $k$ $\theta$ $N(\bar{X}_N, 1/N)$

C I_{b a y e s} := [{\bar{X}}_{N} - \frac{1.96}{\sqrt{N}}, {\bar{X}}_{N} + \frac{1.96}{\sqrt{N}}] .

$CI_{bayes} :=\left[\bar{X}_N - \frac{1.96}{\sqrt{N}}, \bar{X}_N + \frac{1.96}{\sqrt{N}}\right].$

N

$N$

0

$0$

k

$k$

0 < {\bar{X}}_{N} - \frac{k}{\sqrt{N}} ≪ {\bar{X}}_{N} - \frac{1.96}{\sqrt{N}}

$0 < \bar{X}_N - \frac{k}{\sqrt{N}} \ll \bar{X}_N - \frac{1.96}{\sqrt{N}}$

k ≫ 0

$k \gg 0$

C I_{b a y e s}

$CI_{bayes}$

inf_{θ} P_{θ} (θ \in C I_{b a y e s}) = 0,

$\inf_{\theta} P_\theta( \theta \in CI_{bayes} ) = 0,$

0

$0$

θ

$\theta$

0

$0$

0.95

$0.95$

P (θ \in C I_{b a y e s} | X_{1}, \dots, X_{N}) \approx 0.95.

$\mathbb{P}( \theta \in CI_{bayes} | X_1, \dots, X_N) \approx 0.95.$

Mensaje para llevar a casa: si está interesado en tener una garantía frecuentista, debe tener cuidado al usar las herramientas de inferencia bayesianas, que siempre son válidas para las garantías bayesianas, pero no siempre para las frecuentes.

(Aprendí este ejemplo de la increíble conferencia de Larry. Esta nota contiene muchas discusiones interesantes sobre la sutil diferencia entre los marcos frecuentista y bayesiano. Http://www.stat.cmu.edu/~larry/=stat705/Lecture14.pdf )

EDITAR En el ABC de Livid, el valor de tolerancia es demasiado grande, por lo que incluso para la configuración estándar donde muestreamos un número fijo de observaciones, no proporciona un CR correcto. No estoy familiarizado con ABC, pero si solo cambié el valor de tol a 0.05, podemos tener un CR muy sesgado de la siguiente manera

> X = like(theta = 0)
> m = mean(X)
> print(m)
[1] 0.02779672

> as.numeric(hdi(chain[, 1], credMass = 0.95)) [1] -0.01711265 0.14253673

Por supuesto, la cadena no está bien estabilizada, pero incluso si aumentamos la longitud de la cadena, podemos obtener un CR similar, sesgado a una parte positiva.

$\sqrt{N}\bar{X}_N$ $k$ $0<\theta \ll k$ $-k$ $-k \ll \theta <0$

— JaeHyeok Shin
fuente

"si establecemos una k lo suficientemente grande, la parte posterior de θ es aproximadamente N (X_N, 1 / N)" . Me parece que obviamente Pr (X | theta)! = Normal (theta, 1). Es decir, esa es la probabilidad incorrecta del proceso que generó su secuencia. Además, hay un error tipográfico. En el ejemplo original, deja de muestrear cuando sqrt (n) * abs (mean (x))> k.

— Lívido el

\prod_{i = 1}^{N} ϕ (X_{i} - θ)

$\prod_{i=1}^N \phi(X_i - \theta)$

Por favor, vea mi edición en la pregunta. Todavía creo que su intervalo creíble no tiene sentido porque usa una probabilidad incorrecta. Cuando utilizo la probabilidad correcta como en mi código, obtenemos un intervalo razonable.

— Livid

k

$k$

0 < {\bar{X}}_{N} - k / \sqrt{N} ≪ {\bar{X}}_{N} - 1.96 / \sqrt{N}

$0 < \bar{X}_N - k / \sqrt{N} \ll \bar{X}_N - 1.96 / \sqrt{N}$

k

$k$

k > 10

$k > 10$

2 \times 1.96 / \sqrt{2000} = 0.0876

$2 \times 1.96 / \sqrt{2000} = 0.0876$

Dado que el intervalo creíble se forma a partir de la distribución posterior, en base a una distribución previa estipulada, puede construir fácilmente un intervalo creíble muy malo utilizando una distribución previa que esté muy concentrada en valores de parámetros altamente inverosímiles. Puede hacer un intervalo creíble que no tenga "sentido" mediante el uso de una distribución previa que esté completamente concentrada en valores de parámetros imposibles .

— Reinstalar a Mónica
fuente

O mejor aún, un creíble construido por un prior que no está de acuerdo con su prior (aunque sea el prior de otra persona) tiene buenas probabilidades de ser absurdo para usted. Esto no es raro en la ciencia; He tenido investigadores que dicen que no quieren incluir la opinión de los expertos, porque en sus observaciones, los expertos siempre han tenido un exceso de confianza.

— Acantilado AB

Esto es específicamente sobre uniformes, o "planos", anteriores.

— Lívido el

@Livid: Definitivamente debes incluir que estás hablando de anteriores planos en tu pregunta. Eso lo cambia todo por completo.

— Cliff AB

@CliffAB Está en las dos primeras oraciones, pero aclararé, gracias.

— Livid el

Si estamos usando un previo plano, este es simplemente un juego en el que tratamos de llegar a un previo plano en una reparametrización que no tiene sentido.

$\{0,1\}$ $\{1\}$

Esta es la razón por la cual muchos bayesianos se oponen a las anteriores planas.

— Acantilado
fuente

Le expliqué mi motivación con bastante claridad. Quiero algo como los ejemplos donde los intervalos de confianza incluyen valores imposibles, pero donde el intervalo creíble se comporta bien. Si su ejemplo depende de hacer algo sin sentido, como, por ejemplo, elegir la probabilidad incorrecta, entonces ¿por qué sería de interés para alguien?

— Lívido el

@Livid: la función de probabilidad es perfectamente razonable. El plano anterior en las probabilidades de registro no lo es. Y esta es la totalidad del argumento que Bayesian usa para decir que no debes usar priors planas; ¡pueden ser extremadamente informativos y, a menudo, no como el usuario pretendía!

— Cliff AB

Aquí está Andrew Gelman discutiendo algunos de los problemas de los priors planos.

— Cliff AB

"El anterior plano en las probabilidades de registro no lo es". Quise decir que poner un plano previo en las probabilidades transformadas en el registro parece no tener sentido para ti, como usar la probabilidad incorrecta. Lo siento, pero no estoy familiarizado con este ejemplo. ¿Qué se supone que este modelo debe hacer exactamente?

— Lívido el

@Livid: puede parecer inusual, ¡pero realmente no lo es! Por ejemplo, la regresión logística generalmente considera todos los parámetros en la escala de probabilidades de registro. Si tuviera variables ficticias para todos sus grupos y utilizara anteriores planas en sus parámetros de regresión, se encontraría exactamente con este problema.

— Cliff AB