No es posible que una secuencia "converja" a una cosa y luego a otra. Los términos de orden superior en una expansión asintótica irán a cero. Lo que te dicen es qué tan cerca de cero están para cualquier valor dado de .norte
Para el Teorema del límite central (como ejemplo), la expansión apropiada es la del logaritmo de la función característica: la función generadora acumulativa (cgf). La estandarización de las distribuciones corrige los términos cero, primero y segundo del cgf. Los términos restantes, cuyos coeficientes son los acumulativos , dependen de de manera ordenada. La estandarización que se produce en la CLT (dividiendo la suma de n variables aleatorias por algo proporcional a n 1 / 2 --sin que no se producirá convergencia) hace que el m º cumulante - que después de todo depende de m º momentos - a ser dividido por ( nnortenortenorte1 / 2metrothmetroth , pero al mismo tiempo debido a que estamos sumandontérminos, el resultado neto es que el m ésimo término de orden es proporcional an / n m / 2 = n - ( m - 2 ) / 2 . Así, la tercera cumulante de la suma estandarizada es proporcional a1 / n 1 / 2 , la cuarta cumulante es proporcional a1 / n( n1/ 2)metro=nm / 2nortemetrothn / nm / 2= n- ( m - 2 ) / 21 / n1 / 21 / n, y así. Estos son los términos de orden superior. (Para más detalles, consulte este documento de Yuval Filmus, por ejemplo).
En general, una potencia negativa alta de es mucho más pequeña que una potencia negativa baja. Siempre podemos estar seguros de esto tomando un valor suficientemente grande de n . Por lo tanto, para n muy grande podemos descuidar todas las potencias negativas de n : convergen a cero. En el camino a la convergencia, las salidas desde el límite último se miden con precisión cada vez mayor por los términos adicionales: el 1 / n 1 / 2 plazo es una "corrección", inicial o de salida desde el valor límite; el siguiente 1 / nnortenortenortenorte1 / n1 / 21 / nEl término es una corrección más pequeña que se desvanece más rápidamente, y así sucesivamente. En resumen, los términos adicionales le dan una idea de cuán rápido la secuencia converge a su límite.
norte1 / n1 / 2