Var (X) se conoce, ¿cómo calcular Var (1 / X)?

Si solo tengo $\mathrm{Var}(X)$ , ¿cómo puedo calcular $\mathrm{Var}(\frac{1}{X})$ ?

No tengo ninguna información sobre la distribución de $X$ , así que no puedo utilizar la transformación, o cualquier otro método que usan la distribución de probabilidad de $X$ .

distributions variance data-transformation

— UNA RATA
fuente

Creo que esto podría ayudarte.

— Christoph_J

Es imposible.

Considere una secuencia $X_n$ de variables aleatorias, donde

P (X_{n} = n - 1) = P (X_{n} = n + 1) = 0.5

$P(X_n=n-1)=P(X_n=n+1)=0.5$

Luego:

V a r (X_{n}) = 1 for all n

$\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}\Var(X_n)=1 \quad \text{for all $n$}$

Pero acerca a cero cuandova al infinito: $\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)$ $n$

V a r (\frac{1}{X_{n}}) = {(0.5 (\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n - 1}))}^{2}

$\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)=\left(0.5\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1}\right)\right)^2$

Este ejemplo utiliza el hecho de que es invariante bajo las traducciones de , pero $\Var(X)$ $X$ no lo es. $\Var\left(\frac{1}{X}\right)$

Pero incluso si suponemos que , no podemos calcular $\mathrm{E}(X)=0$ : Let $\Var\left(\frac{1}{X}\right)$

P (X_{n} = - 1) = P (X_{n} = 1) = 0.5 (1 - \frac{1}{n})

$P(X_n=-1)=P(X_n=1)=0.5\left(1-\frac{1}{n}\right)$

P (X_{n} = 0) = \frac{1}{n} for n > 0

$P(X_n=0)=\frac{1}{n} \quad \text{for $n>0$}$

Entonces acerca a 1 cuando va al infinito, pero $\Var(X_n)$ $n$ para todo. $\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)=\infty$ $n$

— mogron
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Puede usar la serie Taylor para obtener una aproximación de los momentos de orden inferior de una variable aleatoria transformada. Si la distribución es bastante "ajustada" alrededor de la media (en un sentido particular), la aproximación puede ser bastante buena.

Así por ejemplo

g (X) = g (μ) + (X - μ) g^{'} (μ) + \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots

$g(X) = g(\mu) + (X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots$

entonces

\begin{array}{rcl} Var [g (X)] & = & Var [g (μ) + (X - μ) g^{'} (μ) + \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \\ = & Var [(X - μ) g^{'} (μ) + \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \\ = & g^{'} (μ)^{2} Var [(X - μ)] + 2 g^{'} (μ) Cov [(X - μ), \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \\ + Var [\frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \end{array}

$\begin{eqnarray} \text{Var}[g(X)] &=& \text{Var}[g(\mu) + (X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ &=& \text{Var}[(X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ &=& g'(\mu)^2 \text{Var}[(X-\mu)] + 2g'(\mu)\text{Cov}[(X-\mu),\frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots] \\& &\quad+ \text{Var}[\frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ \end{eqnarray}$

a menudo solo se toma el primer término

Var [g (X)] \approx g^{'} (μ)^{2} Var (X)

$\text{Var}[g(X)] \approx g'(\mu)^2 \text{Var}(X)$

En este caso (suponiendo que no cometí un error), con , $g(X)=\frac{1}{X}$ . $\text{Var}[\frac{1}{X}] \approx \frac{1}{\mu^4} \text{Var}(X)$

Wikipedia: expansiones de Taylor para los momentos de funciones de variables aleatorias

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Algunos ejemplos para ilustrar esto. Generaré dos muestras (distribuidas en gamma) en R, una con una distribución 'no tan ajustada' sobre la media y otra un poco más ajustada.

 a <- rgamma(1000,10,1)  # mean and variance 10; the mean is not many sds from 0
 var(a)
[1] 10.20819  # reasonably close to the population variance

$1/a$ $(1/10)^4 \times 10 = 0.001$

 var(1/a)
[1] 0.00147171

$1/648 \approx 0.00154$

Ahora para el más apretado:

 a <- rgamma(1000,100,10) # should have mean 10 and variance 1
 var(a)
[1] 1.069147

$1/a$ $(1/10)^4 \times 1 = 0.0001$

 var(1/a)
[1] 0.0001122586

$\frac{10^2}{99^2\times 98} \approx 0.000104$

— Glen_b -Reinstate a Monica
fuente

1 / X

$1/X$

X

$X$

f

$f$

f (0) \neq 0

$f(0) \neq 0$

[- ϵ, ϵ]

$[-\epsilon,\epsilon]$ . The hypothesis just given is not the weakest possible, of course.

— cardinal

The reason the Taylor series argument then fails is because

\approx

$\approx$ hides the remainder (error) term, which in this case is

R (x, μ) = \frac{(x + μ) (x - μ)^{2}}{x μ},

$R(x,\mu) = \frac{(x+\mu)(x-\mu)^2}{x\mu} \>,$ and this behaves badly around

x = 0

$x = 0$ .

— cardinal

One must indeed be careful about the behavior of the density near 0. Note that in the above gamma examples, the distribution of the inverse is inverse gamma, for which having a finite mean requires

α > 1

$\alpha>1$ (

α

$\alpha$ being the shape parameter of the gamma we're inverting). The two examples had

α = 10

$\alpha = 10$ and

α = 100

$\alpha = 100$ . Even so (with "nice" distributions for inverting) neglect of higher terms can introduce a noticeable bias.

— Glen_b -Reinstate Monica

this seems in the right direction, of a reciprocal shifted normal distribution instead of a reciprocal standard normal distribution: en.wikipedia.org/wiki/…

— Felipe G. Nievinski