Correlaciones alcanzables para variables aleatorias lognormales

Considere las variables aleatorias lognormales y con y .$X_1$$X_2$$\log(X_1)\sim \mathcal{N}(0,1)$$\log(X_2)\sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)$

Estoy tratando de calcular y para \ rho (X_1, X_2) . Un paso en la solución dada que tengo es:$\rho_{\max}$$\rho_{\min}$$\rho (X_1,X_2)$

$\rho_{\max}=\rho (\exp(Z),\exp(\sigma Z))$ y $\rho_{\min}=\rho (\exp(Z),\exp(-\sigma Z))$ ,

pero han hecho algunas referencias a la comonotonicidad y la contracomonotonicidad. Esperaba que alguien me ayudara a entender cómo son relevantes. (Sé cómo obtener esto de la expresión general, pero quiero saber específicamente lo que decían las partes de comonotonicidad).

Comenzaré proporcionando la definición de comonotonicidad y contramonotonicidad . Luego, mencionaré por qué esto es relevante para calcular el coeficiente de correlación mínimo y máximo posible entre dos variables aleatorias. Y finalmente, calcularé estos límites para las variables aleatorias lognormales $X_1$ y $X_2$ .

Comonotonicidad y contramonotonicidad
Se dice que las variables aleatorias son comonotónicas si su cópula es el límite superior de Fréchet M ( u 1 , ... , u d ) = min ( u 1 , ... , u d ) , que es El tipo más fuerte de dependencia "positiva". Se puede demostrar que X 1 , ... , X $X_1, \ldots, X_d$ $M(u_1, \ldots, u_d) = \min(u_1, \ldots, u_d)$
$X_1, \ldots, X_d$son comonotónicos si y solo si d = denota igualdad en la distribución. Entonces, las variables aleatorias comonotónicas son solo funciones de una sola variable aleatoria. donde Z es una variable aleatoria, h 1 , … , h d son funciones crecientes, y

$$(X_1, \ldots, X_d) \stackrel{\mathrm{d}}{=} (h_1(Z), \ldots, h_d(Z)),$$ $Z$$h_1, \ldots, h_d$$\stackrel{\mathrm{d}}{=}$

Se dice que las variables aleatorias son contramonotónicas si su cópula es el límite inferior de Fréchet W ( u 1 , u 2 ) = max ( 0 , u 1 + u 2 - 1 ) , que es el tipo más fuerte de " "negativa" en el caso bivariado. La contramonotonocidad no se generaliza a dimensiones superiores. Se puede demostrar que X 1 , X 2 son contramonotónicos si y solo si $X_1, X_2$ $W(u_1, u_2) = \max(0, u_1 + u_2 - 1)$
$X_1, X_2$ donde Z es una variable aleatoria, y h 1 y h 2 son respectivamente una función creciente y una función decreciente, o viceversa.

$$(X_1, X_2) \stackrel{\mathrm{d}}{=} (h_1(Z), h_2(Z)),$$ $Z$$h_1$$h_2$

Correlación alcanzable
Sea y X 2 dos variables aleatorias con variaciones estrictamente positivas y finitas, y deje que ρ min y ρ max denoten el coeficiente de correlación mínimo y máximo posible entre X 1 y X 2 . Entonces, se puede demostrar que$X_1$$X_2$$\rho_{\min}$$\rho_{\max}$$X_1$$X_2$

• si y solo si X 1 y X 2 son contramonotónicos;${\rm \rho}(X_1, X_2) = \rho_{\min}$$X_1$$X_2$
• si y solo si X 1 y X 2 son comonotónicos.${\rm \rho}(X_1, X_2) = \rho_{\max}$$X_1$$X_2$

Correlación alcanzable para variables aleatorias lognormales
Para obtener usamos el hecho de que la correlación máxima se alcanza si y solo si X 1 y X 2 son comonotónicos. Las variables aleatorias X 1 = e Z y X 2 = e σ Z donde Z ∼ N ( 0 , 1 ) son comonotónicas ya que la función exponencial es una función (estrictamente) creciente, y por lo tanto ρ max = c o r r $\rho_{\max}$$X_1$$X_2$$X_1 = e^{Z}$$X_2 = e^{\sigma Z}$$Z \sim {\rm N} (0, 1)$$\rho_{\max} = {\rm corr} \left (e^Z, e^{\sigma Z} \right )$.

El uso de las propiedades de variables aleatorias lognormal , tenemos , E ( e σ Z ) = e σ 2 / 2 , v un r ( e Z ) = e ( e - 1 ) , v a r ( e σ Z ) = e σ 2 ( e ${\rm E}(e^Z) = e^{1/2}$${\rm E}(e^{\sigma Z}) = e^{\sigma^2/2}$${\rm var}(e^Z) = e(e - 1)$${\rm var}(e^{\sigma Z}) = e^{\sigma^2}(e^{\sigma^2} - 1)$, and the covariance is

$$\begin{align} {\rm cov}\left (e^Z, e^{\sigma Z}\right ) &= {\rm E}\left (e^{(\sigma + 1) Z}\right ) - {\rm E}\left (e^{\sigma Z}\right ){\rm E}\left (e^Z\right ) \\ &= e^{(\sigma + 1)^2/2} - e^{(\sigma^2 + 1)/2} \\ &= e^{(\sigma^2 + 1)/2} ( e^{\sigma} -1 ). \end{align}$$ Thus, $$\begin{align} \rho_{\max} & = \frac{ e^{(\sigma^2 + 1)/2} ( e^{\sigma} -1 ) } { \sqrt{ e(e - 1) e^{\sigma^2}(e^{\sigma^2} - 1) } } \\ & = \frac{ ( e^{\sigma} -1 ) } { \sqrt{ (e - 1) (e^{\sigma^2} - 1) } }. \end{align}$$

Similar computations with $X_2 = e^{-\sigma Z}$ yield

$$\begin{align} \rho_{\min} & = \frac{ ( e^{-\sigma} -1 ) } { \sqrt{ (e - 1) (e^{\sigma^2} - 1) } }. \end{align}$$

Comment
This example shows that it is possible to have a pair of random variable that are strongly dependent — comonotonicity and countermonotonicity are the strongest kind of dependence — but that have a very low correlation. The following chart shows these bounds as a function of $\sigma$.

This is the R code I used to produce the above chart.

curve((exp(x)-1)/sqrt((exp(1) - 1)*(exp(x^2) - 1)), from = 0, to = 5,
      ylim = c(-1, 1), col = 2, lwd = 2, main = "Lognormal attainable correlation",
      xlab = expression(sigma), ylab = "Correlation", cex.lab = 1.2)
curve((exp(-x)-1)/sqrt((exp(1) - 1)*(exp(x^2) - 1)), col = 4, lwd = 2, add = TRUE)
legend(x = "bottomright", col = c(2, 4), lwd = c(2, 2), inset = 0.02,
       legend = c("Correlation upper bound", "Correlation lower bound"))
abline(h = 0, lty = 2)