La situación

A algunos investigadores les gustaría dormirte. Dependiendo del lanzamiento secreto de una moneda justa, te despertarán brevemente una vez (cara) o dos veces (cruz). Después de cada vigilia, lo volverán a dormir con un medicamento que le hará olvidar ese despertar. Cuando se despierta, en qué grado debe usted cree que el resultado del lanzamiento de la moneda era Jefes?

(¡De acuerdo, tal vez no quieras ser el sujeto de este experimento! Supón, en cambio, que la Bella Durmiente (SB) está de acuerdo (con la aprobación total de la Junta de Revisión Institucional del Magic Kingdom, por supuesto). Está a punto de ir a dormir durante cien años, entonces, ¿qué son uno o dos días más, de todos modos?)

[Detalle de una ilustración de Maxfield Parrish .]

¿Eres un Halfer o un Thirder?

La posición de Halfer. ¡Sencillo! La moneda es justa, y SB lo sabe, por lo que debería creer que hay una mitad de posibilidades de cara.

La posición de Thirder. Si este experimento se repitiera muchas veces, la moneda se lanzará solo un tercio de las veces que se despierte SB. Su probabilidad de cara será de un tercio.

Thirders tiene un problema

La mayoría, pero no todas, las personas que han escrito sobre esto son personas sedientas. Pero:

• El domingo por la noche, justo antes de que SB se duerma, ella debe creer que la posibilidad de cara es la mitad: eso es lo que significa ser una moneda justa.

• Cada vez que SB se despierta, ella no ha aprendido absolutamente nada de lo que no sabía el domingo por la noche. ¿Qué argumento racional puede dar, entonces, para afirmar que su creencia en las cabezas es ahora un tercio y no la mitad?

Algunos intentos de explicaciones

• SB necesariamente perdería dinero si apostara por cara con cualquier otra probabilidad que no sea 1/3. (Vineberg, entre otros )

• La mitad realmente es correcta: ¡solo use la interpretación Everettiana de “muchos mundos” de la Mecánica Cuántica! (Ametralladora).

• SB actualiza su creencia basada en la autopercepción de su "ubicación temporal" en el mundo. (Elga, ia )

• SB está confundido: “[Parece] más plausible decir que su estado epistémico al despertar no debería incluir un grado definido de creencia en las cabezas. ... El verdadero problema es cómo se trata el mal funcionamiento cognitivo conocido e inevitable ". [Arntzenius]

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La pregunta

Teniendo en cuenta lo que ya se ha escrito sobre este tema (ver las referencias y una publicación anterior ), ¿cómo se puede resolver esta paradoja de una manera estadísticamente rigurosa? ¿Es esto posible?

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Referencias

Arntzenius, Frank (2002). Reflexiones sobre el análisis de la bella durmiente 62.1 pp 53-62.

Bradley, DJ (2010). Confirmación en un mundo ramificado: la interpretación de Everett y la bella durmiente . Brit. J. Phil. Sci. 0 (2010), 1–21.

Elga, Adam (2000). Creencia de auto-localización y el problema de la bella durmiente. Análisis 60 pp 143-7.

Franceschi, Paul (2005). La bella durmiente y el problema de la reducción mundial . Preimpresión

Groisman, Berry (2007). El final de la pesadilla de la Bella Durmiente . Preimpresión

Lewis, D (2001). La bella durmiente: responde a Elga . Análisis 61.3 pp 171-6.

Papineau, David y Victor Dura-Vila (2008). Un Thirder y un Everettian: una respuesta a 'Quantum Sleeping Beauty' de Lewis .

Pust, Joel (2008). Horgan sobre la bella durmiente . Synthese 160 pp 97-101.

Vineberg, Susan (sin fecha, quizás 2003). Cuento cautelar de la belleza .

Estrategia

Me gustaría aplicar la teoría de la decisión racional al análisis, porque esa es una forma bien establecida de lograr el rigor en la resolución de un problema de decisión estadística. Al intentar hacerlo, surge una dificultad especial: la alteración de la conciencia de SB.

• La teoría de la decisión racional no tiene mecanismo para manejar estados mentales alterados.

• Al pedirle a SB su credibilidad en el lanzamiento de la moneda, simultáneamente la tratamos de una manera un tanto autorreferencial como sujeto (del experimento SB) y experimentador (con respecto al lanzamiento de la moneda).

Modifiquemos el experimento de una manera no esencial: en lugar de administrar el medicamento para borrar la memoria, prepare un clon estable de la Bella Durmiente justo antes de que comience el experimento. (Esta es la idea clave, porque nos ayuda a resistir las cuestiones filosóficas que distraen, pero en última instancia son irrelevantes y engañosas).

• Los clones son como ella en todos los aspectos, incluidos la memoria y el pensamiento.

• SB es plenamente consciente de que esto sucederá.

Nosotros podemos clonar, en principio. ET Jaynes reemplaza la pregunta "¿cómo podemos construir un modelo matemático del sentido común humano", algo que necesitamos para reflexionar sobre el problema de la Bella Durmiente, por "¿Cómo podríamos construir una máquina que llevara a cabo razonamientos útiles y plausibles, siguiendo principios claramente definidos que expresan un sentido común idealizado? Por lo tanto, si lo desea, reemplace SB por el robot pensante de Jaynes y clone eso.

(Ha habido, y todavía hay, controversias sobre las máquinas "pensantes".

"Nunca harán una máquina para reemplazar la mente humana; hace muchas cosas que ninguna máquina podría hacer".

Insiste en que hay algo que una máquina no puede hacer. Si me dices exactamente qué es lo que una máquina no puede hacer, ¡siempre puedo hacer una máquina que haga exactamente eso!

--J. von Neumann, 1948. Citado por ET Jaynes en Probability Theory: The Logic of Science , p. 4.)

--Rube Goldberg

El experimento de la Bella Durmiente reformulado

Prepare copias idénticas de SB (incluida la propia SB) el domingo por la noche. Todos se van a dormir al mismo tiempo, potencialmente durante 100 años. Siempre que necesite despertar SB durante el experimento, seleccione aleatoriamente un clon que aún no se haya despertado. Cualquier despertar ocurrirá el lunes y, si es necesario, el martes.$n \ge 2$

Afirmo que esta versión del experimento crea exactamente el mismo conjunto de resultados posibles, hasta los estados mentales y la conciencia de SB, con exactamente las mismas probabilidades. Este es potencialmente un punto clave donde los filósofos podrían optar por atacar mi solución. Afirmo que es el último punto en el que pueden atacarlo, porque el análisis restante es rutinario y riguroso.

Ahora aplicamos la maquinaria estadística habitual. Comencemos con el espacio muestral (de posibles resultados experimentales). Supongamos que significa "despierta el lunes" y T significa "despierta el martes". Del mismo modo, h significa "cabezas" y "t" significa colas. Subíndice los clones con enteros 1 , 2 , ... , n . Luego, los posibles resultados experimentales se pueden escribir (en lo que espero sea una notación transparente y evidente) como el conjunto$M$$T$$h$$1, 2, \ldots, n$

$$\eqalign{ \{&hM_1, hM_2, \ldots, hM_n, \\ &(tM_1, tT_2), (tM_1, tT_3), \ldots, (tM_1, tT_n), \\ &(tM_2, tT_2), (tM_2, tT_3), \ldots, (tM_2, tT_n), \\ &\cdots, \\ &(tM_{n-1}, tT_2), (tM_{n-1}, tT_3), \ldots, (tM_{n-1}, tT_n) & \}. }$$

Probabilidades de lunes

Como uno de los clones SB, a determinar su probabilidad de ser despertado el lunes durante un experimento de heads-up es ( oportunidad de cabezas) veces ( 1 / n riesgo que estoy escogieron para ser el clon que es despertado). En términos más técnicos:$1/2$$1/n$

• El conjunto de resultados de cabezas es . Hay n de ellos.$h = \{hM_j, j=1,2, \ldots,n\}$$n$

• El evento en el que te despiertan con cabezas es .$h(i) = \{hM_i\}$

• $i$

  $$\Pr[h(i)] = \Pr[h] \times \Pr[h(i)|h] = \frac{1}{2} \times \frac{1}{n} = \frac{1}{2n}.$$

Martes probabilidades

• El conjunto de resultados de colas es . Hay de ellos. Todos son igualmente probables, por diseño.n ( n - 1 $t = \{(tM_j, tT_k): j \ne k\}$$n(n-1)$

• Usted, clon , está despierto en de estos casos; a saber, las formas despertar el lunes (hay clones restantes para despertar el martes) más las formas despertar el martes (hay clones de lunes posibles). Llame a este evento .( n - 1 ) + ( n - 1 ) = 2 ( n - 1 ) n - 1 n - 1 n - 1 n - 1 t ( i $i$$(n-1) + (n-1) = 2(n-1)$$n-1$$n-1$$n-1$$n-1$$t(i)$

• Su probabilidad de ser despertado durante un experimento de cola es igual a

  $$\Pr[t(i)] = \Pr[t] \times P[t(i)|t] = \frac{1}{2} \times \frac{2(n-1}{n(n-1)} = \frac{1}{n}.$$

Teorema de Bayes

Ahora que hemos llegado tan lejos, el Teorema de Bayes , una tautología matemática más allá de toda disputa, termina el trabajo. La posibilidad de que cualquier clon tenga cabezas es, por lo tanto,

$$\Pr[h | t(i) \cup h(i)] = \frac{\Pr[h]\Pr[h(i)|h]}{\Pr[h]\Pr[h(i)|h] + \Pr[t]\Pr[t(i)|t]} = \frac{1/(2n)}{1/n + 1/(2n)} = \frac{1}{3}.$$

Debido a que SB es indistinguible de sus clones, ¡incluso para sí misma! Esta es la respuesta que debe dar cuando se le pregunta por su grado de creencia en las cabezas.

Interpretaciones

La pregunta "cuál es la probabilidad de caras" tiene dos interpretaciones razonables para este experimento: puede pedir la posibilidad de que una moneda justa caiga cara , que es (la respuesta Halfer), o puede pregunta por la posibilidad de que la moneda caiga cara, condicionada por el hecho de que eras el clon despertado. Esto es (la respuesta Thirder).Pr [ h | t ( i ) ∪ h ( i ) ] = 1 /$\Pr[h] = 1/2$$\Pr[h|t(i) \cup h(i)] = 1/3$

En la situación en la que SB (o más bien cualquiera de un conjunto de máquinas de pensamiento Jaynes preparadas idénticamente) se encuentra, este análisis, que muchos otros han realizado (pero creo que de manera menos convincente, porque no eliminaron tan claramente las distracciones filosóficas en las descripciones experimentales) - apoya la respuesta Thirder.

La respuesta de Halfer es correcta, pero poco interesante, porque no es relevante para la situación en la que SB se encuentra. Esto resuelve la paradoja.

Esta solución se desarrolla en el contexto de una única configuración experimental bien definida. Aclarar el experimento aclara la pregunta. Una pregunta clara lleva a una respuesta clara.

Comentarios

Supongo que, siguiendo a Elga (2000), podría caracterizar legítimamente nuestra respuesta condicional como "contar [ing] su propia ubicación temporal como relevante para la verdad de h", pero esa caracterización no agrega ninguna idea al problema: solo resta valor a Los hechos matemáticos en evidencia. Para mí, parece ser una forma oscura de afirmar que la interpretación de los "clones" de la pregunta de probabilidad es la correcta.

Este análisis sugiere que el problema filosófico subyacente es uno de identidad : ¿qué les sucede a los clones que no están despiertos? ¿Qué relaciones cognitivas y noéticas tienen entre los clones? Pero esa discusión no es una cuestión de análisis estadístico; Pertenece a un foro diferente .

Gracias por esta brillante publicación (+1) y solución (+1). Esta paradoja ya me da dolor de cabeza.

Acabo de pensar en la siguiente situación que no requiere hadas, milagros ni pociones mágicas. Lanza una moneda justa el lunes al mediodía. En 'Tails', envíe un correo a Alice y Bob (de manera que no sepan que el otro ha recibido un correo de usted y que no pueden comunicarse). En 'Heads', envíe un correo a uno de ellos al azar (con probabilidad ).$1/2$

Cuando Alice recibe un correo, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda caiga en 'Cara'? La probabilidad de que reciba una carta es , y la probabilidad de que la moneda caiga en 'Caras' es .1 /$1/2 \times 1/2 + 1/2 = 3/4$$1/3$

Aquí no hay paradoja porque Alice no recibe una carta con probabilidad de , en cuyo caso sabe que la moneda cayó en 'Caras'. El hecho de que no le pidamos su opinión en ese caso, hace que esta probabilidad sea igual a 0 .$1/4$

¿Entonces cuál es la diferencia? ¿Por qué Alice obtendría información al recibir un correo, y SB no aprendería nada al despertar?

Pasando a una situación más milagrosa, ponemos 2 SB diferentes para dormir. Si la moneda cae en 'Colas', despertamos a ambos, si cae en 'Cara', despertamos a uno de ellos al azar. Aquí nuevamente, cada SB debería decir que la probabilidad de que la moneda caiga en 'Caras' es y nuevamente no hay paradoja porque hay una probabilidad de que esta SB no se despierte.1 /$1/3$$1/4$

Pero esta situación está muy cerca de la paradoja original porque borrar la memoria (o clonación) es equivalente a tener dos SB diferentes. Entonces, estoy con @Douglas Zare aquí (+1). SB ha aprendido algo al despertarse. El hecho de que no pueda expresar su opinión el martes cuando la moneda está "cara a cara" porque está durmiendo no borra la información que tiene al ser despertada.

En mi opinión, la paradoja radica en " ella no aprendió absolutamente nada de lo que no sabía el domingo por la noche ", que se afirma sin justificación. Tenemos esta impresión porque las situaciones en las que la despiertan son idénticas, pero es como si Alice recibiera un correo: es el hecho de que se le pide su opinión lo que le da información.

EDITOR PRINCIPAL : Después de pensarlo profundamente, cambio mi opinión: La Bella Durmiente no ha aprendido nada y el ejemplo que doy arriba no es un buen análogo de su situación.

Pero aquí hay un problema equivalente que no es paradójico. Podría jugar el siguiente juego con Alice y Bob: lanzo una moneda en secreto e independientemente les apuesto 1 $ a que no pueden adivinarlo. Pero si la moneda cayó en 'Tails', la apuesta de Alicia de Bob se cancela (el dinero no cambia de mano). Dado que conocen las reglas, ¿qué deberían apostar?

'Cabezas' obviamente. Si la moneda cae en 'Caras', ganan 1 $ , de lo contrario, pierden 0.5 $ en promedio. ¿Significa que creen que la moneda tiene una probabilidad de 2/3 de caer en 'Cara'? Seguro que no. Simplemente el protocolo es tal que no ganan la misma cantidad de dinero por cada respuesta.

Creo que la Bella Durmiente está en la misma situación que Alice o Bob. Los eventos no le dan información sobre el lanzamiento , pero si se le pide que apueste, sus probabilidades no son 1: 1 debido a las asimetrías en la ganancia. Creo que esto es lo que @whuber quiere decir con

La respuesta de Halfer es correcta, pero poco interesante, porque no es relevante para la situación en la que SB se encuentra. Esto resuelve la paradoja.

"Cada vez que SB se despierta, no ha aprendido absolutamente nada de lo que no sabía el domingo por la noche". Esto está mal, tan mal como decir "O gano la lotería o no, así que la probabilidad es del ". Ella ha aprendido que se ha despertado. Esto es informacion. Ahora debería creer que cada posible despertar es igualmente probable, no cada lanzamiento de moneda.$50\%$

Si usted es médico y un paciente ingresa a su consultorio, se enteró de que el paciente ingresó al consultorio de un médico, lo que debería cambiar su evaluación de la anterior. Si todos van al médico, pero la mitad enferma de la población va veces más a menudo que la mitad sana, entonces cuando el paciente entra, usted sabe que el paciente probablemente esté enfermo.$100$

Aquí hay otra ligera variación. Supongamos que cualquiera sea el resultado del lanzamiento de la moneda, la Bella Durmiente se despertará dos veces. Sin embargo, si se trata de colas, se despertará muy bien dos veces. Si se trata de cabezas, una vez la despertará muy bien y una vez le arrojará un cubo de hielo. Si se despierta en una pila de hielo, tiene información de que la moneda salió cara. Si se despierta bien, tiene información de que la moneda probablemente no salió cara. No puede tener una prueba no degenerada cuyo resultado positivo (hielo) le dice a sus cabezas que es más probable sin que el resultado negativo (agradable) indique que las cabezas son menos probables.

La paradoja radica en el cambio de perspectiva entre un solo experimento y su punto límite. Si se tiene en cuenta el número de experimentos, puede comprender esto incluso con mayor precisión que el "cualquiera / o" de los a medias y los thirders:

Experimento único: las medias son correctas

Si hay un solo experimento, hay tres resultados y solo tienes que calcular las probabilidades desde la perspectiva del despertado:

1. Se lanzaron cabezas: 50%
2. Tails fue arrojado y este es mi primer despertar: 25%
3. Tails fue arrojado y este es mi segundo despertar: 25%

Entonces, en un solo experimento, en cualquier evento de activación, debe suponer 50/50 que se encuentra en un estado en el que se arrojaron cabezas

Dos experimentos: 42% de los ers tienen razón

Ahora, intente dos experimentos:

1. Se lanzaron cabezas dos veces: 25% (para ambos despertares combinados)
2. Tails fue arrojado dos veces: 25% (para los cuatro despertares combinados)
3. Cara, cruz y este es mi primer despertar: 25% / 3
4. Cara, cruz y este es mi segundo o tercer despertar: 25% * 2/3
5. Colas luego cabezas y este es mi primer o segundo despertar: 25% * 2/3
6. Tails luego Heads y este es mi tercer despertar: 25% / 3.

Así que aquí, {1, 3, 6} son sus estados de Heads, con una probabilidad combinada de (25 + 25/3 + 25/3)%, 41.66%, que es menos del 50%. Si se ejecutan dos experimentos, en cualquier evento de activación, debe asumir el 41.66% de probabilidad de que se encuentre en un estado en el que se arrojaron cabezas.

Experimentos infinitos: los Thirders tienen razón

No voy a hacer los cálculos aquí, pero si miras las opciones de dos experimentos, puedes ver que # 1 y # 2 lo conducen hacia las mitades, y el resto lo conduce hacia los tercios. A medida que aumenta el número de experimentos, las opciones que conducen hacia las mitades (todas las caras / todas las colas) disminuirán en probabilidad a cero, dejando las opciones de "tercios" para hacerse cargo. Si se ejecutan infinitos experimentos, en cualquier evento de activación, debe asumir 1/3 de probabilidad de que se encuentre en un estado donde se arrojaron cabezas

Retorts previos:

Pero, juegos de azar?

Sí, en la instancia de experimento único, aún debe "apostar" por tercios. Esto no es una inconsistencia; es solo porque puede estar haciendo la misma apuesta varias veces dado un cierto resultado, y saber esto de antemano. (O si no, la mafia sí).

Bien, ¿qué tal dos experimentos individuales? Discrepancia mucho?

No, porque el conocimiento sobre si estás en el primer o segundo experimento se suma a tu, erm, conocimiento. Echemos un vistazo a las opciones de "dos experimentos" y filtremos por conocimiento de que está en el primer experimento.

1. Aplicable para el primer despertar (1/2)
2. Aplicable para los dos primeros despertares (2/4)
3. Aplicable
4. Nunca aplicable
5. Aplicable para el primer despertar (1/2)
6. No aplica

De acuerdo, toma los Jefes (1,3,6) multiplica estos, las probabilidades por la aplicabilidad: 25/2 + 25/3 + 0 = 125/6.

Ahora tome los Tails (2,4,5) y haga lo mismo: 25 * 4/2 + 0 + 25 * (2/3) / 2 = 125/6.

Viola, son lo mismo. La información adicional sobre el experimento en el que estás, de hecho, ajusta las probabilidades de lo que sabes.

Pero, los clones !!

En pocas palabras, contrariamente a lo postulado de la respuesta de la OP, que la clonación crea un experimento equivalente: la clonación, más la selección al azar hace cambiar el conocimiento de la experimentee, de la misma manera "múltiples experimentos" cambia el experimento. Si hay dos clones, puede ver que las probabilidades de cada clon corresponden a las probabilidades de los dos experimentos . Infinitos clones convergen en thirders. Pero no es el mismo experimento, y no es el mismo conocimiento, como un solo experimento con un solo sujeto no aleatorio.

Dices "uno aleatorio de infinito" y yo digo dependencia de Axioma de Elección

No sé, mi teoría de conjuntos no es tan buena. Pero dado para N menor que infinito, puede establecer una secuencia que converja de la mitad a un tercio, el caso infinito que iguala a un tercero será verdadero o indecidible en el peor de los casos, sin importar qué axiomas invoque.

Vamos a variar el problema.

Si la moneda sale cara, entonces SB nunca se despierta.

Si Tails, entonces SB se despierta una vez.

Ahora los campamentos son Halfers y Zeroers. Y claramente los Zeroers están en lo correcto.

O: Cabezas -> despertado una vez; Tails -> despertó un millón de veces. Claramente, dado que está despierta, lo más probable es que sea una cola.

(PD: "Nueva información": la información puede haber sido DESTRUIDA. Entonces, otra pregunta es: ¿ha perdido la información que alguna vez tuvo?)

"Cada vez que SB se despierta, no ha aprendido absolutamente nada de lo que no sabía el domingo por la noche".

Esto no es correcto, que es el error en el argumento halfer. Una cosa que hace difícil discutir, aunque, es que el argumento intermedio que se basa en esta afirmación rara vez se expresa con más rigor que el que cité.

Hay tres problemas Primero, el argumento no define qué significa "nueva información". Parece significar "Un evento que originalmente tenía una probabilidad distinta de cero no puede haber ocurrido con base en la evidencia". Segundo, nunca enumera lo que se sabe el domingo para ver si se ajusta a esta definición; y puede, si lo miras correctamente. Finalmente, no existe un teorema que diga "si no tiene información nueva de este tipo, no puede actualizar". Si lo tiene, el Teorema de Bayes producirá una actualización. Pero es una falacia concluir, si no tiene esta nueva información, que no puede actualizar. Ser una falacia no significa que no sea cierto, significa que no puede llegar a esta conclusión basándose solo en esta evidencia.

El domingo por la noche, digamos que SB tira un dado imaginario de seis lados. Como es imaginario, ella no puede mirar el resultado. Pero el propósito es ver si coincide con el día en que ella está despierta: un número par significa que coincide con el lunes, y un número impar significa martes. Pero no puede coincidir con ambos, lo que efectivamente distingue los dos días.

SB puede ahora (es decir, el domingo) calcular la probabilidad de las ocho combinaciones posibles de {Cara / Cruz, lunes / martes, Partido / No partido}. Cada uno será 1/8. Pero cuando está despierta, sabe que {Heads, Tuesday, Match} y {Heads, Tuesday, No Match} no sucedieron. Esto constituye "nueva información" de la forma que el argumento de los halfers dice que no existe, y le permite a SB actualizar la probabilidad de que la moneda del investigador caiga en la cara. Es 1/3 si su moneda imaginaria coincide o no con el día real. Como es lo mismo de cualquier manera, es 1/3 si ella sabe o no si hay una coincidencia; y de hecho, ya sea que ruede o no, o se imagina rodando, el dado.

Este dado extra parece mucho por recorrer para obtener un resultado. De hecho, no es necesario, pero necesita una definición diferente de "nueva información" para ver por qué. La actualización puede ocurrir en cualquier momento en que los eventos significativos (es decir, independientes y no de probabilidad cero) en el espacio muestral anterior difieran de los eventos significativos en el espacio muestral posterior. De esa manera, el denominador de la razón en el Teorema de Bayes no es 1. Si bien esto ocurre generalmente cuando la evidencia hace que algunos de los eventos tengan probabilidad cero, también puede ocurrir cuando la evidencia cambia si los eventos son independientes. Esta es una interpretación muy poco ortodoxa, pero funciona porque a la Belleza se le da más de una oportunidad para observar un resultado. Y el objetivo de mi dado imaginario, que distinguía los días, era convertir el sistema en uno donde la probabilidad total fuera 1.

El domingo, SB sabe P (Despertar, lunes, cara) = P (Despertar, lunes, cola) = P (Despertar, martes, cola) = 1/2. Estos suman más de 1/2 porque los eventos no son independientes según la información que SB tiene el domingo. Pero son independientes cuando ella está despierta. La respuesta, según el teorema de Bayes, es (1/2) / (1/2 + 1/2 + 1/2) = 1/3. No hay nada malo con un denominador que sea mayor que 1; pero el argumento de la moneda imaginaria fue diseñado para lograr las mismas cosas sin dicho denominador.

Acabo de volver a tropezar con esto. He refinado algunos de mis pensamientos desde esa última publicación, y pensé que podría encontrar una audiencia receptiva para ellos aquí.

En primer lugar, sobre la filosofía de cómo abordar tal controversia: Digamos que existen los argumentos A y B. Cada uno tiene una premisa, una secuencia de deducciones y un resultado; Y los resultados difieren.

La mejor manera de demostrar que un argumento es incorrecto es invalidar una de sus deducciones. Si eso fuera posible aquí, no habría controversia. Otra es refutar la premisa, pero no puedes hacerlo directamente. Puedes discutir por qué no crees en uno, pero eso no resolverá nada a menos que puedas convencer a otros de que dejen de creerlo.

Para probar una premisa errónea indirectamente, debe formar una secuencia alternativa de deducciones que conduzca a un absurdo o una contradicción de la premisa. La forma falaz es argumentar que el resultado contrario viola su premisa. Eso significa que uno está equivocado, pero no indica cuál.

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La premisa del halfer es "no hay nueva información". Su secuencia de deducciones está vacía: no se necesita ninguna. Pr (Cabezas | Despertar) = Pr (Cabezas) = ​​1/2.

Los thirders (específicamente, Elga) tienen dos premisas: Pr (H1 | Awake y Monday) = Pr (T1 | Awake and Monday), y Pr (T1 | Awake and Tails) = Pr (T2 | Awake and Tails). Una secuencia incontrovertible de deducciones conduce a Pr (Heads | Awake) = 1/3.

Tenga en cuenta que los thirders nunca suponen que hay nueva información, sus premisas se basan en cualquier información que exista, "nueva" o no, cuando SB está despierto. Y nunca he visto a nadie discutir por qué una premisa de thirder está mal, excepto que viola el resultado del halfer. Así que los medianos no han proporcionado ninguno de los argumentos válidos que he enumerado. Solo el falaz.

Pero hay otras deducciones posibles de "no hay información nueva", con una secuencia de deducciones que comienzan con Pr (Heads | Awake) = 1/2. Una es que Pr (Cabezas | Despertar y lunes) = 2/3 y Pr (Colas | Despertar y lunes) = 1/3. Esto contradice la premisa de los thirder, pero como dije, eso no ayuda a la causa del halfer ya que aún podría ser su premisa lo que está mal. Irónicamente, este resultado prueba algo: que la premisa de halfer se contradice a sí misma. El domingo, SB dice Pr (Heads | Monday) = Pr (Tails | Monday), por lo que agregar la información "Despierta" le ha permitido actualizar estas probabilidades. Es nueva información.

Así que he demostrado que la premisa de halfer no puede ser correcta. Eso no significa que los thirders tengan razón, pero sí significa que los halfers no han proporcionado ninguna evidencia contraria.

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Hay otro argumento que encuentro más convincente. No es completamente original, pero no estoy seguro de si se ha enfatizado lo suficiente el punto de vista adecuado. Considere una variación del experimento: SB siempre se despierta en ambos días; generalmente está en una habitación pintada de azul, pero el martes después de Heads está en una habitación pintada de rojo. ¿Cuál debería decir que es la probabilidad de Heads si se encuentra despierta en una habitación azul?

No creo que nadie discuta seriamente que es cualquier cosa menos 1/3. Hay tres situaciones que podrían corresponder a su actual, todas son igualmente probables, y solo una incluye Jefes.

El punto sobresaliente es que no hay diferencia entre esta versión y la original. Lo que ella "sabe", su "nueva información", es que no es H2. No importa cómo, o SI , ella sabría que podría ser H2 si pudiera. Su capacidad para observar situaciones que sabe que no se aplican es irrelevante si sabe que no se aplican.

No puedo creer la premisa halfer. Se basa en un hecho, que ella no puede observar H2, que no puede importar ya que puede, y lo hace, observar que no es H2.

Así que espero haber proporcionado un argumento convincente de por qué la premisa de halfer es inválida. En el camino, sé que he demostrado que el resultado del thirder debe ser correcto.

Un tercio de los posibles despertares son los despertares de los Jefes, y dos tercios de los despertares posibles son los despertares de los Tails. Sin embargo, la mitad de las princesas (o lo que sea) son princesas de Heads, y la mitad son princesas de Tails. Las princesas de Tails, individualmente y en conjunto, experimentan el doble de despertares que las princesas de los Jefes.

Desde la perspectiva de la princesa, al despertar, hay tres posibilidades. Es una princesa de Jefes que se despierta por primera vez (y única) ( ), una princesa de Tails que se despierta por primera vez ( ) o una princesa de colas que se despierta por segunda vez ( ). Parece que no hay razón para suponer que estos tres resultados son igualmente probables. Más bien , y .$H1$$T1$$T2$$P[H1]=0.5$$P[T1]=0.25$$P[T2]=0.25$

No he leído el razonamiento de Vineberg, pero creo que puedo ver cómo llega a una apuesta justa de . Suponga que cada vez que una princesa se despierta, apuesta a que es una princesa Jefa, recibiendo $ 1 si es realmente una princesa Jefa, y $ 0 en caso contrario. Luego, una princesa de Heads recibirá , y una princesa de Tails recibirá cada vez que juegue. Dado que las princesas de Tails deben jugar dos veces, y dado que la mitad de las princesas son princesas de Heads, el rendimiento esperado es , y el precio justo es .$\$1/3$$\$x$$\$(1-x)$$\$(-x)$$\$(1-3x)/2$$\$1/3$

Normalmente, esto sería una evidencia concluyente de que la probabilidad es , pero el razonamiento habitual no se cumple en este caso: las princesas que están destinadas a perder la apuesta están obligadas a jugar dos veces, mientras que las que están destinadas a ganar lo harán. juega solo una vez! Este desequilibrio desacopla la relación habitual entre probabilidades y apuestas justas.$1/3$

(Por otro lado, un técnico que fue asignado para ayudar con el proceso de vigilia realmente tendría solo una tercera oportunidad de ser asignado a una princesa Jefa).

Cuando se despierta, en qué grado debe usted cree que el resultado del lanzamiento de la moneda era Jefes?

¿Qué quieres decir con " debería "? ¿Cuáles son las consecuencias de mis creencias? En tal experimento, no creería nada. Esta pregunta está etiquetada como decision-theory, pero, por la forma en que se concibe este experimento, no tengo ningún incentivo para tomar una decisión.

Podemos modificar el experimento de diferentes maneras, de modo que me siento inclinado a dar una respuesta. Por ejemplo, podría adivinar si me despertaron por "cara" o "cruz", y ganaría un dulce por cada respuesta correcta que dé. En ese caso, obviamente, elegiría "Tails", porque, en experimentos repetidos, ganaría un dulce por experimento en promedio: en el 50% de los casos, el lanzamiento sería "Tails". me despertaría dos veces y ganaría un dulce las dos veces. En el otro 50% ("Jefes") no ganaría nada. Debo responder "Cabezas", estaría ganando solo la mitad de un dulce por experimento, porque solo tendría una oportunidad de responder y estaría en lo correcto el 50% del tiempo. Si yo mismo arrojara una moneda justa para la respuesta, yo '$3/4$

Otra posibilidad es ganar un dulce por cada experimento en el que todas mis respuestas fueron correctas. En ese caso, no importa qué respuesta sistemática doy, ya que, en promedio, ganaré medio caramelo por experimento: si decido responder "Cabezas" todo el tiempo, estaría en lo correcto 50% de los casos, y lo mismo vale para "Tails". Solo si lanzo una moneda yo mismo, estaría ganando de un caramelo: en el 50% de los casos, los investigadores arrojarían "Cabezas", y en el 50% de ellas arrojaría también "Cabezas", ganando me de un caramelo En el otro 50% de los casos, cuando las investigaciones arrojaron "Colas", tendría que tirar "Colas" dos veces,$3/8$$1/4$$1/4$de los casos, por lo que esto me daría solo de un caramelo.$1/8$

¿Cómo puede resolverse esta paradoja de una manera estadísticamente rigurosa? ¿Es esto posible?

Definir "forma estadísticamente rigurosa ". La pregunta sobre una creencia no tiene relevancia práctica. Solo las acciones importan.

La pregunta es ambigua, por lo que solo parece haber una paradoja. La pregunta se plantea de esta manera:

Cuando estás despierto, ¿en qué medida deberías creer que el resultado del lanzamiento de la moneda fue Cara?

Lo cual se confunde con esta pregunta:

Cuando estás despierto, ¿en qué medida deberías creer que Heads fue la razón por la que te despertaste ?

En la primera pregunta, la probabilidad es 1/2. En la segunda pregunta, 1/3.

El problema es que se plantea la primera pregunta, pero la segunda pregunta está implícita en el contexto del experimento. Aquellos que inconscientemente aceptan la implicación dicen que es 1/3. Quienes leen la pregunta literalmente dicen que es 1/2.

¡Los que están confundidos no están seguros de qué pregunta están haciendo!

Realmente me gusta este ejemplo, pero diría que hay un punto para confundir con un par de distracciones molestas.

Para evitar distracciones molestas, uno discutible debe tratar de discernir una representación esquemática abstracta del problema que esté claramente más allá de toda duda razonable (como una representación adecuada) y pueda ser manipulada de manera verificable (re-manipulada por otros calificados) para demostrar las afirmaciones. Como un simple ejemplo, piense en un rectángulo (matemático abstracto) y la afirmación de que se puede hacer en dos triángulos.

Dibuje un rectángulo de mano libre como representación de un rectángulo matemático (en su dibujo, los cuatro ángulos no se sumarán exactamente a 180 grados y las líneas adyacentes no serán exactamente iguales o rectas, pero no habrá ninguna duda real de que representa un verdadero rectángulo ) Ahora manipúlelo dibujando una línea desde una esquina opuesta a otra, lo que cualquier otra persona podría hacer y obtendrá una representación de dos triángulos que nadie dudaría razonablemente. Cualquier cuestionamiento de esto puede parecer tan absurdo, simplemente lo es.

El punto que trato de aclarar aquí es que si obtiene una representación más allá de una duda razonable del problema SB como una distribución de probabilidad conjunta y puede condicionar un evento que sucede en el experimento en esta representación, entonces afirma si algo se ha aprendido por ese evento puede demostrarse mediante manipulación verificable y no requiere discusión (filosófica) o cuestionamiento.

Ahora mejor presento mi intento y los lectores deberán discernir si he tenido éxito. Usaré un árbol de probabilidad para representar probabilidades conjuntas para dormir durante el día en los experimentos (DSIE), el resultado del lanzamiento de la moneda el lunes (CFOM) y despertar dado que uno estaba durmiendo en el experimento (WGSIE). Lo dibujaré (en realidad solo escríbelo aquí) en términos de p (DSIE) * p (CFOM | DSIE) * p (WGSIE | DSIE, CFOM).

Me gustaría llamar a DSIE y CFOM posibles incógnitas y WGSIE lo posible conocido, entonces p (DSIE, CFOM) es anterior y p (WGSIE | DSIE, CFOM) es un modelo de datos o probabilidad y se aplica el teorema de Bayes, sin este etiquetado es solo probabilidad condicional que es lógicamente la misma cosa.

Ahora sabemos p (DSIE = lunes) + p (DSIE = martes) = 1 yp (DSIE = martes) = ½ p (DSIE = lunes)

entonces p (DSIE = Mon) = 2/3 yp (DSIE = martes) = 1/3.

Ahora P (CFOM = H | DSIE = Mon) = 1/2, P (CFOM = T | DSIE = Mon) = 1/2, P (CFOM = T | DSIE = Mar) = 1.

P (WGSIE | DSIE =., CFOM =.) Siempre es igual a uno.

Igual anterior

P (DSIE = Mon, CFOM = H) = 2/3 * ½ = 1/3

P (DSIE = Mon, CFOM = T) = 2/3 * ½ = 1/3

P (DSIE = martes, CFOM = T) = 1/3 * 1 = 1/3

Entonces, el marginal anterior para CFOM = 1/3 H y 2/3 T, y el posterior dado que te despertaron mientras dormías en el experimento, será el mismo (ya que no ocurre el aprendizaje), entonces tu anterior es 2/3 T.

OK, ¿dónde me equivoqué? ¿Necesito revisar mi teoría de probabilidad?

Una explicación simple para esto sería que hay 3 formas en que la bella durmiente puede despertar dos de las cuales son de un lanzamiento de Tails. Por lo tanto, la probabilidad tiene que ser 1/3 por cara cada vez que se despierta. Yo he descrito en un blog de correos

El argumento principal contra el punto de vista del "halfer" es el siguiente: en un sentido bayesiano, SB siempre está buscando ver qué nueva información tiene. En realidad, en el momento en que decidió participar en el experimento, tiene información adicional que, cuando se despierte, podría estar en los días. O dicho de otro modo, la falta de información (borrar la memoria) es lo que proporciona la evidencia aquí, aunque sutilmente.

Como muchas preguntas, depende del significado exacto de la pregunta:

Cuando estás despierto, ¿en qué medida deberías creer que el resultado del lanzamiento de la moneda fue Cara?

Si lo interpreta como "cuáles son las probabilidades de que una moneda lanzada sea cara", obviamente la respuesta es "la mitad de las probabilidades".

Pero lo que estás preguntando no es (en mi interpretación) eso, sino "¿cuál es la posibilidad de que el despertar actual haya sido causado por un Cabezal?". En ese caso, obviamente solo un tercio de los despertares son causados ​​por un Heads, por lo que la respuesta más probable es "Tails".

Esta es una pregunta muy interesante. Daré mi respuesta como si fuera una bella durmiente. Creo que un punto clave para entender es que confiamos al 100% en el experimentador.

$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}$

Luego (3) sigue de la misma manera, excepto que tan pronto como le digan que esta es la última vez que lo despiertan, la cantidad de situaciones en las que puede estar colapsa a 2 (como ahora colapsa y esta es la primera vez que está despertar es imposible).

$m$$n$$m≤n$

Específicamente, si la moneda es 'Caras', ella se despertará en ...

$\cdots$
$\cdots$
$m$

... y si la moneda es 'Tails', ella se despertará en ...

$\cdots$
$\cdots$
$n$

$m≤n$

$m=1$$n=2$

$$P(Heads)=P(Tails)=1/2.$$ $\ldots$$n$$m$$D_1$$D_2$$\ldots$$D_m$

$D_1$
$D_2$
$D_3$
$\cdots$
$\cdots$
$D_m$$m$

$n$$m$

$D_1$
$D_2$
$D_3$
$\cdots$
$\cdots$
$D_n$$n$

$m+n$$D_1$$D_2$$\ldots$$D_m$

$$P(D_1|H)=P(D_2|H)=\ldots=P(D_m|H) = \frac{1}{m}$$ $D_1$$D_2$$\ldots$$D_n$ $$P(D_1|T)=P(D_2|T)=\ldots=P(D_n|T) = \frac{1}{n}$$ $D_i$$i$$1≤i≤m$ $$P(D_i\cap H)=P(H)\times P(D_i|H)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{m} = \frac {1}{2m}$$ $$P(D_i∩T)=P(T)\times P(D_i|T)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{n} = \frac {1}{2n}$$ $m<i≤n$ $$P(D_i∩H)=P(H)\times P(D_i|H)=\frac{1}{2}\times0=0$$ $$P(D_i∩T)=P(T)\times P(D_i|T)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{n} = \frac {1}{2n}$$

$D_1$$D_2$$\ldots$$D_n$

$1≤i≤m$

$$P(D_i)=P(D_i∩H)+P(D_i∩T) = \frac {1}{2m}+\frac {1}{2n}$$ $m<i≤n$ $$P(D_i)=P(D_i∩H)+P(D_i∩T)=0+\frac {1}{2n} = \frac {1}{2n}$$

$D_1$$D_2$$\ldots$$D_n$

$$\begin{align}P(H|awake)&=P(H|(D_1∪D_2∪...∪D_n))\\ &\\ &=\frac {P(H∩(D_1∪D_2∪\ldots∪D_n))}{P(D_1∪D_2∪\ldots∪D_n)}\\ &\\ &=\frac {P((H∩D_1)∪(H∩D_2)∪\ldots∪(H∩D_n))}{P(D_1∪D_2∪\ldots∪D_n)}\\ &\\ &=\frac{P(H∩D_1)+P(H∩D_2)+\ldots+P(H∩D_n)}{P(D_1)+P(D_2)+\ldots+P(D_n)}\\ &\\ &=\frac{P(H∩D_1)+P(H∩D_2)+\ldots+P(H∩D_m)+\ldots+P(H∩D_n)}{P(D_1)+P(D_2)+\ldots+P(D_m)+\ldots+P(D_n)}\\ &\\ &=\frac{\frac {1}{2m}\times m + 0\times(n-m)}{(\frac {1}{2m}+\frac {1}{2n})\times m + \frac {1}{2n}\times(n-m)}\\ &\\ &=\frac{\frac {1}{2}+0}{\frac {1}{2}+\frac{m}{2n}+\frac {1}{2}-\frac{m}{2n}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+\frac {1}{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2} \end{align}$$

Ya tenemos la respuesta, pero también calculemos la probabilidad de 'cara' o 'cruz' dado que el despertar está ocurriendo en un día determinado

$1≤i≤m$

$$P(H|D_i)=\frac{P(H∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{\frac {1}{2m}}{\frac {1}{2m}+\frac {1}{2n}}=\frac{n}{m+n}$$ $$P(T|D_i)=\frac{P(T∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{\frac {1}{2n}}{\frac {1}{2m}+\frac {1}{2n}}=\frac{m}{m+n}$$

$m<i≤n$

$$P(H|D_i)=\frac{P(H∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{0}{P(D_i)}=0$$ $$P(T|D_i)=\frac{P(T∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{\frac{1}{2n}}{\frac{1}{2n}}=1$$

Soy consciente de que esta no es una respuesta para aquellos que creen en la respuesta "1/3". Esto es solo un uso simple de probabilidades condicionales. Por lo tanto, no creo que este problema sea ambiguo y, por lo tanto, una paradoja. Sin embargo, es confuso para el lector al dejar en claro cuáles son los experimentos aleatorios y cuáles son los posibles eventos de esos experimentos.

Dado que la bella durmiente no puede recordar cuántas veces se ha despertado antes, no estamos viendo la probabilidad de Heads dado que se ha despertado solo esta vez, sino la probabilidad de Heads dado que se ha despertado al menos una vez:

$P(Heads\mid x\geq1) = 1/2$ $P(Heads\mid x=1) = 1/3$

Por lo tanto, la respuesta es 50% (los medios son correctos), y no hay paradoja.

¡La gente parece estar haciendo esto mucho, mucho más complejo de lo que realmente es!

No estadísticamente

En toda su genialidad agradable, la Bella Durmiente puede realizar el experimento hipotético mientras duerme, lo que le dará forma a sus creencias:

import numpy as np

# Take clones of our Sleeping Beauties.
# One type of clones is persistently heads guessing,
# the other persistently guesses tails.

# Keeping score for heads guessing Sleeping Beauty ...
guessed_heads_right = 0

# ... and also for the tails guessing Sleeping Beauty
guessed_tails_right = 0

# Coding the toss outcomes
HEADS = 0
TAILS = 1


# Function to wake up heads guessing Sleeping Beauty
def heads_guesser_guesses_right(toss):
    return toss == HEADS


# Function to wake up tails guessing Sleeping Beauty
def tails_guesser_guesses_right(toss):
    return toss == TAILS


# Repeating the tossing and awakenings many times
for i in range(1000):

    # Toss fair coin, result is either HEADS or TAILS
    toss = np.random.randint(0, 2)

    # Waking SBs up first time and count successful guesses
    if heads_guesser_guesses_right(toss):
        guessed_heads_right += 1
    if tails_guesser_guesses_right(toss):
        guessed_tails_right += 1

    # If toss was TAILS, wake SBs up second time ...
    if toss == TAILS:

        # ... and counts successful guesses
        if heads_guesser_guesses_right(toss):
            guessed_heads_right += 1
        if tails_guesser_guesses_right(toss):
            guessed_tails_right += 1

# Print the raw statistics
print('Guessed HEADS right: {}'.format(guessed_heads_right))
print('Guessed TAILS right: {}'.format(guessed_tails_right))

Salida:

Guessed HEADS right: 498
Guessed TAILS right: 1004

Entonces nuestra Bella Durmiente creerá adivinar mejor las colas.

¿Y estadísticamente?

El algoritmo anterior no es a statistically rigorous waypara determinar qué adivinar. Sin embargo, deja muy en claro que, en el caso de las colas, puede adivinar dos veces , por lo que adivinar las colas es el doble de probabilidades de ser la correcta. Esto se desprende del procedimiento operativo del experimento.

Probabilidad Frecuente

La probabilidad frecuente es un concepto de estadística basado en las teorías de Fisher, Neyman y (Egon) Pearson.

$n$$E_{n}$

$E$$Pr(E)\equiv\texttt{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{E_{n}}{N}\right)$

$E$$Pr(E)$$\frac{1}{3}$

¿Y ella cree?

Entonces, cuando finalmente llega aquí con su razonamiento, tiene fundamentos estadísticamente rigurosos en los que basar sus creencias. Pero cómo los formará finalmente, realmente depende de su psique.

Acabo de pensar en una nueva forma de explicar mi punto, y qué está mal con la respuesta 1/2. Ejecute dos versiones del experimento al mismo tiempo, utilizando el mismo lanzamiento de moneda. Una versión es igual que la original. En el otro, se necesitan tres (o cuatro, no importa) voluntarios; a cada uno se le asigna una combinación diferente de cara o cruz y de lunes a martes (la combinación cara a cara o martes se omite si usa solo tres voluntarios). Rotúlelos HM, HT, TM y TT, respectivamente (posiblemente omitiendo HT).

Si un voluntario en la segunda versión se despierta de esta manera, ella sabe que era igualmente probable que haya sido etiquetado como HM, TM o TT. En otras palabras, la probabilidad de que fuera etiquetada HM, dado que está despierta, es 1/3. Dado que el lanzamiento de la moneda y el día corresponden a esta asignación, ella puede deducir trivialmente que P (Cabezas | Despertar) = 1/3.

El voluntario en la primera versión podría despertarse más de una vez. Pero como "hoy" es solo uno de esos dos días posibles, cuando está despierta tiene exactamente la misma información que el voluntario despierto en la segunda versión. Ella sabe que sus circunstancias actuales pueden corresponder a la etiqueta aplicada a uno, Y SOLO A UNO , de otros voluntarios. Es decir, ella puede decirse a sí misma "o el voluntario etiquetado como HM, o HT, o TT también está despierto. Dado que cada uno es igualmente probable, hay una probabilidad de 1/3 de que sea HM y, por lo tanto, una probabilidad de 1/3 de que la moneda caiga cruz."

La razón por la cual las personas cometen un error es porque confunden "está despierto en algún momento durante el experimento" con "está despierto ahora". La respuesta de 1/2 proviene de la SB original que se decía a sí misma "HM es el único otro voluntario despierto AHORA , o TM y TT están AMBOS despiertos ALGUNA VEZ DURANTE EL EXPERIMENTO . Dado que cada situación es igualmente probable, hay una probabilidad de 1/2 es HM y, por lo tanto, una probabilidad de 1/2 de que la moneda caiga ". Es un error porque solo otro voluntario está despierto ahora.

En lugar de dar una respuesta estadísticamente rigurosa, me gustaría modificar la pregunta ligeramente de una manera que pueda convencer a las personas cuya intuición los lleva a ser a medias.

Algunos investigadores quieren dormirte. Dependiendo del lanzamiento secreto de una moneda justa, te despertarán una vez (Cara) o novecientas noventa y nueve veces (Colas). Después de cada despertar, te volverán a dormir con un medicamento que te hará olvidar ese despertar.

Cuando estás despierto, ¿qué grado de creencia debes tener de que el resultado del lanzamiento de la moneda fue Cara?

Siguiendo la misma lógica que antes, podría haber dos campos:

• Halfers : el lanzamiento de la moneda fue justo, y SB lo sabe, por lo que debería creer que hay una mitad de posibilidades de cara.
• Thousanders : si el experimento se repitiera muchas veces, el lanzamiento de la moneda sería solo una de cada mil veces, por lo que debería creer que la posibilidad de caras es de una en mil.

Creo que parte de la confusión de la pregunta como está redactada originalmente surge simplemente porque no hay mucha diferencia entre la mitad y un tercio. Las personas naturalmente piensan en las probabilidades como conceptos algo confusos (particularmente cuando la probabilidad es un grado de creencia en lugar de una frecuencia) y es difícil intuir la diferencia entre los grados de creencia de medio y un tercio.

Sin embargo, la diferencia entre la mitad y uno de cada mil es mucho más visceral. Afirmo que será intuitivamente obvio para más personas que la respuesta a este problema es una en mil, en lugar de la mitad. Me interesaría ver a un "halfer" defender su argumento utilizando esta versión del problema.

Si la bella durmiente tuviera que decir cara o cruz, ella minimizaría su función de pérdida 0-1 esperada (evaluada cada día) escogiendo colas. Sin embargo, si la función de pérdida 0-1 se evaluó solo en cada prueba, entonces cara o cruz sería igualmente buena.

Los thirders ganan

En lugar de una moneda, supongamos un dado justo:

on friday, the sleeping beauty will sleep:
if the dice == 1 , they will awake her on saturday;
if the dice == 2 , they will awake her on saturday and sunday;
if the dice == 3 , they will awake her on saturday, sunday and monday;
if the dice == 4 , they will awake her on saturday, sunday, monday and tuesday;
if the dice == 5 , they will awake her on saturday, sunday, monday, tuesday and wednesday;
if the dice == 6 , they will awake her on saturday, sunday, monday, tuesday, wednesday and thursday;

Cada vez que le preguntan "¿hasta qué punto crees que el resultado del dado fue 1?"

Los medianos dirán que la probabilidad de dados = 1 es 1/6. Los thirders dirán que la probabilidad de dados = 1 es 1/21.

Pero la simulación resuelve claramente el problema:

days <- c("saturday", "sunday", "monday", "tuesday", "wednesday", "thursday")

#she will answer the dice was 1 every time 
#the trick here is that this is not absolutely random because every day implies the days before it. 


number_of_correct_answer <- 0
number_of_days <- 0
for (i in 1:1000){
dice <- sample(1:6,1)
for (item in days[1:dice]){
        number_of_correct_answer <- number_of_correct_answer + (dice == 1)
        number_of_days <- number_of_days + 1
}
}
number_of_correct_answer/number_of_days
#equals 1/21
#but if we divided by 1000 , which is incorrect because every experiment has more than one day we will get 1/6
number_of_correct_answer/1000
#equals 1/6

También podemos simular el problema de lanzamiento

days <- c("monday", "tuesday")
number_of_correct_answer <- 0
number_of_tosses <- 0
for (i in 1:1000){
        toss <- sample(1:2,1)
        for (item in days[1:toss]){
                number_of_correct_answer <- number_of_correct_answer + (toss == 1)
                number_of_tosses <- number_of_tosses + 1
        }
}
number_of_correct_answer/number_of_tosses
#equals 1/3
#but if we divided by 1000 , which is incorrect because every experiment can has more than one toss we will get 1/2
number_of_correct_answer/1000
#equals 1/2

La aparente paradoja deriva de la falsa premisa de que las probabilidades son absolutas. De hecho, las probabilidades son relativas a la definición de los eventos que se cuentan.

$P(Letter,Time|Audio)$$P(Letter|Time,Audio)$$P(Letter,Time)$$P(Letter|Time)$

Tanto P (cabezas) = ​​1/2 mundos wrt (o nacimientos) como P (cabezas) = ​​1/3 instantes wrt (o despertares) son verdaderas, pero después de ser puesta a dormir, la Bella Durmiente solo puede calcular las probabilidades con respecto a los instantes porque sabe que su memoria se borra. (Antes de dormir, lo calcularía con respecto a los mundos).

Creo que el error es de los "thirders" y mi razón para esto es que los "despertares" no son igualmente probables: si te despiertan, es más probable que sea "la primera vez" que te despertaron. % de probabilidad de hecho.

Esto significa que no puede contar los "3 resultados" (cabezas1, colas1, colas2) por igual.

$AA=A$$A$$Pr(A|I)=1$$I\implies A$$IA=I$$p(H|AI)=p(H|I)=0.5$

Las matemáticas se muestran claramente en la respuesta dada por @ pit847, por lo que no lo repetiré en la mía.

$1$$g$$U$

$$E(U|h)=0.5\times (g-1) + 0.5\times (-2) = \frac{g - 3}{2}$$ $$E(U|t)=0.5\times (-1) + 0.5 \times (2g-2)=\frac{2g - 3}{2}$$

entonces ganas un extra$\frac{g}{2}$$g=\frac{3}{2}=1.5$

$E(U|h)=\frac{g-5}{3}$$E(U|t)=\frac{4g-5}{3}$$g=\frac{5}{4}=1.25$

$g=1.4$$498$$502$$1004 \times 1.4 = 1405.6$$1502$$97.6$

Cuando la Bella Durmiente se despierta, ella sabe:

$r$$r = \mathrm{H}$$r = \mathrm{T}$

$\mathcal{I}$

$\mathrm{prob}(r = \mathrm{H} | \mathcal{I})?$

$w$$\mathcal{I}$

$$(r = \mathrm{H} \vee r = \mathrm{T}) \wedge (r = \mathrm{H} \implies w = 1) \wedge (r = \mathrm{T} \implies (w = 1 \vee w = 2))$$

$$(r = \mathrm{H} \wedge w = 1) \vee (r = \mathrm{T} \wedge w = 1) \vee (r = \mathrm{T} \wedge w = 2)$$

$\frac{1}{3}$$\mathrm{prob}(r = \mathrm{H} | \mathcal{I}) = \frac{1}{3}$

---

PD

$\mathrm{H}$$\mathrm{T}$$\mathrm{prob}(r = \mathrm{H} | \mathcal{I}) = \frac{1}{2}$

En mi opinión, sin embargo, las declaraciones de este tipo son técnicamente inadmisibles, porque una probabilidad es algo que debe resolverse a partir del antecedente y las proposiciones consiguientes. La frase "el lanzamiento secreto de una moneda justa" plantea la pregunta: ¿cómo sabe Sleeping Beauty que es justo? ¿Qué información tiene ella que establezca eso? Normalmente, la equidad de una moneda ideal se calcula a partir del hecho de que hay dos posibilidades que son informativamente equivalentes. Cuando el lanzamiento de la moneda se mezcla con el factor de activación, obtenemos tres posibilidades que son informativamente equivalentes. Es esencialmente una moneda ideal de tres caras, por lo que llegamos a la solución anterior.

Tarde a la fiesta, lo sé.

Esta pregunta es muy similar al problema de Monty Hall, donde se le pide que adivine detrás de cuál de las 3 puertas se encuentra el premio. Digamos que elige la puerta No.1. Luego, el presentador (quién sabe dónde está el premio) elimina la Puerta No.3 del juego y le pregunta si desea cambiar su suposición de la Puerta No1 a la Puerta No2, o si se queda con su suposición inicial. La historia dice que siempre debes cambiar, porque hay una mayor probabilidad de que el premio esté en la Puerta No2. La gente generalmente se confunde en este punto y señala que la probabilidad de que el premio esté en cualquiera de las puertas sigue siendo 1/3. Pero ese no es el punto. La cuestión no es lo que la probabilidad inicial era, la verdadera pregunta es cuáles son las posibilidades de que su primera suposición sea correcta, frente a cuáles son las posibilidades de que se haya equivocado. En ese caso, debe cambiar, porque las posibilidades de que se equivoque son 2/3.

Al igual que con el problema de Monty Hall, las cosas se vuelven increíblemente más claras si hacemos 3 puertas en un millón de puertas. Si hay un millón de puertas, y eliges la Puerta No1, y el presentador cierra las puertas de 3 a un millón, dejando solo las Puertas No1 y las Puertas No2 en juego, ¿cambiarías? ¡Por supuesto que lo harías! Las posibilidades de que hayas elegido la Puerta No1 correctamente en primer lugar fueron 1 en un millón. Lo más probable es que no lo hayas hecho.

En otras palabras, el error en el razonamiento proviene de creer que la probabilidad de realizar una acción es igual a la probabilidad de que se haya realizado una acción, cuando el contexto entre los dos no los hace afirmaciones equivalentes. Dicho de otro modo, según el contexto y las circunstancias del problema, la probabilidad de "elegir correctamente" puede no ser la misma que la probabilidad de "haber elegido correctamente".

Del mismo modo con el problema de la bella durmiente. Si no te despertaron 2 veces en el caso de las colas, pero 1 millón de veces, tiene más sentido que digas "este despertar actual que estoy experimentando ahora es mucho más probable que sea uno de esos en medio de un racha de millones de despertares de un lanzamiento de Tails, que yo simplemente me topé con ese solo despertar que resultó de los Jefes ". El argumento de que es una moneda justa no tiene nada que ver con nada aquí. La moneda justa solo te dice cuáles son las posibilidades de 'lanzar' cabezas, es decir, la probabilidad de tener que despertar una vez versus un millón de veces, cuando lanzas esa moneda por primera vez. Entonces, si le preguntas a SB antes del experimento que elija si va a dormir una o un millón de veces antes de cada lanzamiento, su probabilidad de 'elegir correctamente' es de hecho del 50%.

Pero a partir de ese momento, suponiendo experimentos consecutivos, y el hecho de que a SB no se le dice en qué experimento se encuentra actualmente, en cualquier momento en que se haya despertado, la probabilidad de haber arrojado Cabezas es mucho menor, ya que es más probable que sea despertado de uno de los millones de despertares que de uno solo.

Tenga en cuenta que esto implica experimentos consecutivos, según la formulación del problema. Si SB se asegura desde el comienzo del experimento de que solo habrá un solo experimento (es decir, solo uno por costas), entonces su creencia se remonta al 50%, ya que en cualquier momento, el hecho de que ella puede haber despertado muchas veces antes ahora se vuelve irrelevante. En otras palabras, en este contexto, la probabilidad de 'elegir correctamente' y 'haber elegido correctamente' vuelve a ser equivalente.

Tenga en cuenta también que cualquier reformulación que use 'apuestas' también son preguntas diferentes que cambian el contexto por completo. Por ejemplo, incluso en un solo experimento, si ganaras dinero cada vez que adivinases correctamente, obviamente irías por colas; pero esto se debe a que la recompensa esperada es mayor, no porque la probabilidad de colas sea diferente de las caras. Por lo tanto, las "soluciones" que introducen las apuestas solo son válidas en la medida en que colapsan el problema con una interpretación muy particular.

Antes de que SB se vaya a dormir, ella cree que la posibilidad de que la próxima moneda sea cara es 1/2. Después de que ella despierta, ella cree que la posibilidad de que el lanzamiento de moneda más reciente fuera cara es 1/3. Esos eventos no son lo mismo porque no hay una correspondencia uno a uno entre el despertar y el lanzamiento de monedas.

¿Qué tal la siguiente solución:

La pregunta es evaluar la probabilidad de que la moneda salga "cara". Entonces, si la Bella Durmiente se despertara el lunes y supiera qué día es, de hecho tendría que creer que la probabilidad de "cabezas" es del 50%.

Sin embargo, si la despertaran el martes y supiera qué día es, la probabilidad de que la moneda salga cara habría sido cero.

Por lo tanto, el conocimiento de qué día es agrega información crucial que cambia la probabilidad de "cabezas".

La Bella Durmiente, sin embargo, no sabe qué día es cuando se despierta. Por lo tanto, debemos determinar las probabilidades de despertar el lunes o el martes, respectivamente.

Primero, consideremos la probabilidad de que sea martes. Cuando el experimentador lanza la moneda, el resultado decide qué escenario del experimento seguiría. Si es cara, la SB se despierta solo el lunes. Si se trata de colas, la despiertan tanto el lunes como el martes. Las probabilidades de que el experimento tome uno de estos caminos son obviamente 50/50. Ahora, si estamos en la rama de "dos despertares", la probabilidad de que sea un martes o un lunes cuando la SB se despierte es del 50%. Por lo tanto, podemos calcular la probabilidad total de que sea martes cuando la SB se despierte como 0.5 * 0.5 = 0.25. Obviamente, entonces, la probabilidad de que sea lunes cuando se despierte es 1-0.25 = 0.75

Si la SB supiera que se despertó el martes, la probabilidad de que la moneda haya salido "cara" habría sido cero.

Sin embargo, si ella supiera que se despertó el lunes, la probabilidad de que la moneda haya salido "cara" habría sido del 50%. Pero sabemos que la probabilidad de que sea lunes es 0.75. Entonces, para descubrir la probabilidad total de que la moneda haya salido "cara" necesitamos multiplicar 0.75 * 0.5 = 0.375

La respuesta es así, la probabilidad de que la moneda salga "cara" es 37.5%

Lo anterior es solo una sugerencia. Por favor, señale, si ve fallas en mi razonamiento.