Densidad de Y = log (X) para X distribuido en gamma

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Supongamos que tengo una variable aleatoria , y defino . Me gustaría encontrar la función de densidad de probabilidad de . $X \sim \text{Gamma}(k, \theta)$ $Y = \log(X)$ $Y$

Originalmente pensé que solo definiría la función de distribución acumulativa X, haría un cambio de variable y tomaría el "interior" de la integral como mi densidad, así,

\begin{aligned} P (X \leq c) & = \int_{0}^{c} \frac{1}{θ^{k}} \frac{1}{Γ (k)} x^{k - 1} e^{- \frac{x}{θ}} d x \\ P (Y \leq \log c) & = \int_{\log (0)}^{\log (c)} \frac{1}{θ^{k}} \frac{1}{Γ (k)} \exp (y)^{k - 1} e^{- \frac{\exp (y)}{θ}} \exp (y) d y \end{aligned}

$\begin{align} P(X \le c) & = \int_{0}^{c} \frac{1}{\theta^k} \frac{1}{\Gamma(k)} x^{k- 1} e^{-\frac{x}{\theta}} dx \\ P(Y \le \log c) & = \int_{\log(0)}^{\log(c)} \frac{1}{\theta^k} \frac{1}{\Gamma(k)} \exp(y)^{k- 1} e^{-\frac{\exp(y)}{\theta}} \exp(y) dy \\ \end{align}$

Aquí uso $y = \log x$ y $dy = \frac{1}{x} dx$ , luego sub en las definiciones de $x$ y $dx$ en términos de $y$ .

La salida, desafortunadamente, no se integra a 1. No estoy seguro de dónde está mi error. ¿Podría alguien decirme dónde está mi error?

pdf gamma-distribution

— Duckworthd
fuente

Si trabaja a través del cdf, no debe cambiar el integrando de la primera integral a la segunda. Su error es tratar de usar los enfoques cdf y jacobiano al mismo tiempo.

— Xi'an

Escriba las densidades con los indicadores para tener una imagen clara.

Si $X\sim\mathrm{Gamma}(k,\theta)$ , entonces

f_{X} (x) = \frac{1}{θ^{k} Γ (k)} x^{k - 1} e^{- x / θ} I_{(0, \infty)} (x) .

$f_X(x) = \frac{1}{\theta^k \Gamma(k)} \;\; x^{k-1} e^{-x/\theta} \, I_{(0,\infty)}(x) \, .$

Si , con , entonces y el CDF se obtiene de la definición $Y=g(X)=\log X$ $X=h(Y)=e^Y$

f_{Y} (y) = f_{X} (h (y)) | h^{'} (y) | = \frac{1}{θ^{k} Γ (k)} \exp (k y - e^{y} / θ) I_{(- \infty, \infty)} (y),

$f_Y(y) = f_X(h(y)) |h'(y)| = \frac{1}{\theta^k\Gamma(k)} \;\; \exp\left( ky-e^y/\theta\right)\,I_{(-\infty,\infty)}(y) \, ,$

P (Y \leq y) = \int_{- \infty}^{y} f_{Y} (y) d y .

$P(Y\leq y) = \int_{-\infty}^y f_Y(y) dy \, .$

— zen
fuente

Esta es una buena respuesta, pero quizás debería parametrizar la distribución Gamma de la misma manera que la pregunta original.

— asumido el

Buen punto, Max. Hecho.

— Zen

Woops, mis propias definiciones tenían errores. Debería ser .

α = k

$\alpha = k$

— Duckworthd