¿Usando la longitud media y el peso medio para calcular el IMC medio?

¿Es válido usar la longitud media ( $h$ ) y el peso medio ( $w$ ) de una población dada para calcular el índice de masa corporal promedio ( $BMI = \frac{w}{h^2}$ ) para esa población?

Matemáticamente, no es el caso de que estos sean necesariamente cercanos. Funcionaría si fuera el caso de que $E(Y/X^2) = E(Y)/E(X)^2$

Sin embargo, para un conjunto bastante realista de datos bivariados de altura y peso, parece que el impacto será pequeño.

Por ejemplo, considere el modelo para la altura y el peso de los hombres adultos estadounidenses en Brainard y Burmaster (1992) [1]; Este modelo es un bivariado normal en altura y registro (peso), que se ajusta bastante bien a los datos de altura-peso y facilita la obtención de simulaciones realistas. Un buen modelo para las mujeres es un poco más complicado, pero no espero que haga tanta diferencia en la calidad de la aproximación del IMC; Solo voy a hacer los machos porque un modelo muy simple es bastante bueno.

$\bar{h}/\bar{w}^2$

Al observar el efecto de variar los parámetros, parece que el impacto del uso del estimador sesgado de las medias de las variables para las mujeres probablemente sea un poco mayor, pero aún no lo suficientemente sustancial como para que sea un gran problema.

Idealmente, debe comprobarse algo más cercano a cualquier situación para la que desee usarlo, pero probablemente será bastante bueno.

Entonces, para una situación típica, parece que es poco probable que sea un gran problema en la práctica.

[1]: Brainard, J. y Burmaster, DE (1992),
"Distribuciones bivariadas para la estatura y el peso de hombres y mujeres en los Estados Unidos",
Análisis de riesgos , vol. 12, N ° 2, p 267-275

No es completamente correcto, pero generalmente no hará una gran diferencia.

Por ejemplo, suponga que su población tiene un peso de 80, 90 y 100 kg, y mide 1.7, 1.8 y 1.9 m de altura. Entonces los IMC son 27.68, 27.78 y 27.70. La media de los IMC es 27.72. Si calcula el IMC a partir de las medias de los pesos y las alturas, obtiene 27.78, que es ligeramente diferente, pero por lo general no debería marcar una gran diferencia.

Aunque estoy de acuerdo con las otras respuestas de que es probable que este método se aproxime al IMC medio, me gustaría señalar que esto es solo una aproximación.

De hecho, me inclino a decir que no debe usar el método que describe, ya que es simplemente menos preciso. Es trivial calcular el IMC para cada individuo y luego tomar la media de eso, dándole el IMC medio real.

Aquí ilustramos dos extremos, donde las medias de peso y longitud siguen siendo las mismas, pero el IMC promedio es realmente diferente:

Usando el siguiente código (matlab):

weight = [60, 61, 62, 100, 101, 102]; % OUR DATA
length = [1.5, 1.5, 1.5, 1.8, 1.8, 1.8;]; % OUR DATA
length = length.^2;
bmi = weight./length;
scatter(1:size(weight,2), bmi, 'filled');
yline(mean(bmi),'red','LineWidth',2);
yline(mean(weight)/mean(length),'blue','LineWidth',2);
xlabel('Person');
ylabel('BMI');
legend('BMI', 'mean(bmi)', 'mean(weight)/mean(length)', 'Location','northwest');

Obtenemos:

Si simplemente reordenamos las longitudes, obtenemos un IMC medio diferente, mientras que la media (peso) / media (longitud ^ 2) permanece igual:

weight = [60, 61, 62, 100, 101, 102]; % OUR DATA
length = [1.8, 1.8, 1.8, 1.5, 1.5, 1.5;]; % OUR DATA (REORDERED)
... % rest is the same

Nuevamente, utilizando datos reales es probable que su método se aproxime al IMC medio real, pero ¿por qué usaría un método menos preciso?

Fuera del alcance de la pregunta: siempre es una buena idea visualizar sus datos para poder ver las distribuciones. Si observa ciertos grupos, por ejemplo, también puede considerar obtener medios separados para esos grupos (por ejemplo, por separado para las primeras 3 y últimas 3 personas en mi ejemplo)