Si 'B tiene más probabilidades de recibir A', entonces 'A tiene más probabilidades de recibir B'

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Estoy tratando de tener una intuición más clara detrás: "Si hace que sea más probable, entonces hace que sea más probable", es decir $A$ $B$ $B$ $A$

Supongamos que denota el tamaño del espacio en el que están y , luego $n(S)$ $A$ $B$

Reclamación: entonces $P(B|A)>P(B)$ $n(AB)/n(A) > n(B)/n(S)$

entonces $n(AB)/n(B) > n(A)/n(S)$

que es $P(A|B)>P(A)$

Entiendo las matemáticas, pero ¿por qué tiene sentido intuitivo?

— Rahul Deora
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Edité la pregunta para eliminar la palabra 'hacer'. Esta pregunta sonaba un poco como esas preguntas ambiguas en Facebook, aquellas en las que tienes que resolver una suma algebraica con imágenes y las personas obtienen respuestas muy diferentes debido a las diferentes interpretaciones de la pregunta. Eso no es algo que queremos aquí. (una alternativa es cerrar la pregunta por no ser clara y hacer que el OP la cambie).

— Sextus Empiricus

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A modo de intuición, los ejemplos del mundo real como los que ofrece Peter Flom son de gran ayuda para algunas personas. La otra cosa que comúnmente ayuda a las personas son las imágenes. Entonces, para cubrir la mayoría de las bases, tomemos algunas fotos.

Lo que tenemos aquí son dos diagramas muy básicos que muestran probabilidades. El primero muestra dos predicados independientes que llamaré rojo y llano. Está claro que son independientes porque las líneas se alinean. La proporción del área plana que es roja es la misma que la proporción del área de rayas que es roja y también es la misma que la proporción total que es roja.

En la segunda imagen, tenemos distribuciones no independientes. Específicamente, hemos expandido parte del área roja normal en el área de rayas sin cambiar el hecho de que es roja. Claramente entonces, ser rojo hace que sea más probable.

Mientras tanto, eche un vistazo al lado plano de esa imagen. Claramente, la proporción de la región simple que es roja es mayor que la proporción de toda la imagen que es roja. Esto se debe a que a la región llana se le ha dado un área más grande y toda es roja.

Por lo tanto, el rojo hace que sea más probable y claro que el rojo sea más probable.

¿Qué está pasando realmente aquí? A es evidencia de B (es decir, A hace que B sea más probable) cuando el área que contiene A y B es más grande de lo que se predeciría si fueran independientes. Debido a que la intersección entre A y B es la misma que la intersección entre B y A, eso también implica que B es evidencia de A.

Una nota de precaución: aunque el argumento anterior parece muy simétrico, puede que no sea el caso que la fuerza de la evidencia en ambas direcciones sea igual. Por ejemplo, considere esta tercera imagen. Aquí ha sucedido lo mismo: el rojo liso ha devorado un territorio que anteriormente pertenecía al rojo rayado. De hecho, ¡ha terminado completamente el trabajo!

Tenga en cuenta que el punto que es rojo directamente garantiza la claridad porque no quedan regiones rojas con rayas. Sin embargo, un punto claro no garantiza el enrojecimiento, porque todavía quedan regiones verdes. Sin embargo, un punto en el cuadro que es simple aumenta la probabilidad de que sea rojo, y un punto que es rojo aumenta la probabilidad de que sea simple. Ambas direcciones implican más probabilidades, solo que no por la misma cantidad.

— Josiah
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Me gustan las imágenes :) Sin embargo, parece que las imágenes o la explicación están invertidas:

In the second image, we have non-independent distributions. Specifically, we have moved some of the stripy red area into the plain area without changing the fact that it is red. Clearly then, being red makes being plain more likely.

su segunda imagen ha ganado un área plana que la primera, por lo que al pasar de la imagen 1 a la 2 hemos movido el área plana al área rayada.

— Pod

Entonces, si tengo un diagrama de Venn con un área de intersección A, B común y todo lo que hago es aumentar ese área de intersección, automáticamente agrego más A, B para todo el espacio (sin agrandar el espacio) y cambio / aumento n (A ) / n (S) yn (B) / n (S) como consecuencia. ¿Derecho? ¿Más comentarios?

— Rahul Deora

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El rojo contra el verde es una combinación problemática para las personas daltónicas.

— Richard Hardy

@Pod Creo que es una ambigüedad del lenguaje natural la que estás describiendo. Lea "hemos movido parte del área roja rayada al área plana" como "hemos movido parte del área anteriormente conocida como rojo rayado y la hemos cambiado al área plana". Creo que lo [leyó mal] como "hemos expandido parte del área roja de rayas en el área anteriormente conocida como llanura" .

— Peter - Restablece a Mónica el

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Creo que otra forma matemática de decirlo puede ayudar. Considere el reclamo en el contexto de la regla de Bayes:

Reclamación: si entonces $P(B|A)>P(B)$ $P(A|B) > P(A)$

Regla de Bayes:

P (A ∣ B) = \frac{P (B ∣ A) P (A)}{P (B)}

$P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \, P(A)}{P(B)}$

suponiendo que no sea cero. Así $P(B)$

\frac{PAG (UNA El | si)}{PAG (UNA)} = \frac{PAG (si El | UNA)}{PAG (si)}

$\frac{P(A|B)}{P(A)} = \frac{P(B|A)}{P(B)}$

Si , entonces . $P(B|A)>P(B)$ $\frac{P(B|A)}{P(B)} > 1$

Entonces , y entonces . $\frac{P(A|B)}{P(A)} > 1$ $P(A|B) > P(A)$

Esto demuestra la afirmación y una conclusión aún más fuerte: que las proporciones respectivas de las probabilidades deben ser iguales.

— Aaron Hall
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Me gustó este porque muestra el vínculo más fuerte "si A hace que B x por ciento más probabilidades, entonces B hace un X por ciento más probabilidades"

— probabilityislogic

@probabilityislogic La formulación de esa manera introduce ambigüedad. Si la probabilidad anterior es del 10% y la posterior es del 15%, ¿aumentó la probabilidad un 5% (15% menos 10%) o un 50% (15% dividido por 10%)?

— Acumulación

Una prueba más simple: si

, entonces usando eso y la Regla de Bayes, tenemos

P (B | A) > P (B)

$P(B|A) > P(B)$

P (A | B) = P (B | A) P (A) / P (B) > P (B) P (A) / P (B) = P (A)

$P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B) > P(B)P(A)/P(B) = P(A)$

— Rayo

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Bueno, no me gusta la palabra "hace" en la pregunta. Eso implica algún tipo de causalidad y la causalidad generalmente no se revierte.

Pero pediste intuición. Entonces, pensaría en algunos ejemplos, porque eso parece despertar la intuición. Elige uno que te guste:

Si una persona es mujer, es más probable que la persona haya votado por un demócrata.
Si una persona votó por un demócrata, es más probable que sea una mujer.

Si un hombre es un centro profesional de baloncesto, es más probable que tenga más de 2 metros de altura.
Si un hombre mide más de 2 metros de altura, es más probable que sea un centro de baloncesto.

Si está a más de 40 grados Celsius, es más probable que haya un apagón.
Si ha habido un apagón, es más probable que supere los 40 grados.

Y así.

— Peter Flom - Restablece a Monica
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Eso no se trata de probabilidad. Eso es aproximadamente 1 a 1 relaciones.

— Peter Flom - Restablece a Monica

66

@jww Imagine la afirmación "si está lloviendo, la calle está mojada" (y supongamos que es una implicación válida por el momento, mientras que lo contrario no lo es). Ahora tome una gran cantidad de "muestras" en diferentes momentos y lugares, donde registre si está lloviendo y si la calle está mojada. La calle estará húmeda en más muestras donde está lloviendo que en las muestras donde no está; pero también , lloverá en más muestras donde la calle está húmeda que las muestras donde la calle está seca. Esa es la probabilidad.

— hobbs

3

Ambos fenómenos son causados por la misma implicación; la implicación solo funciona de una manera, pero observar el consecuente hace que sea más probable que esté viendo una muestra donde el antecedente es verdadero.

— hobbs

77

@Barmar Lo siento, pero eso demuestra en parte la corrección de mi lógica. Porque digamos que 36 / 25,000 es mucho más alto que 1 / 150,000,000.

— Peter Flom - Restablece a Monica

77

Es más probable que alguien que tenga menos de 2 metros de altura.

— Peter Flom - Restablece a Monica

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Para agregar a la respuesta de @Dasherman: ¿Qué puede significar decir que dos eventos están relacionados , o tal vez asociados o correlacionados ? Tal vez podríamos por una definición comparar la probabilidad conjunta (suponiendo que $\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \P(A)>0, \P(B)>0$ ):

η (A, B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A) P (B)}

$\eta(A,B)=\frac{\P(A \cap B)}{\P(A) \P(B)}$ así que si

η

$\eta$ es mayor que uno,

A

$A$ y

B

$B$ ocurren juntos más a menudo que bajo independencia. Entonces podemos decir que

A

$A$ y

B

$B$ están positivamente relacionados.

Pero ahora, usando la definición de probabilidad condicional, $\frac{\P(A \cap B)}{\P(A) \P(B)}>1$ es una consecuencia fácil de $\P(B \mid A) > \P(B)$ . Pero $\frac{\P(A \cap B)}{\P(A) \P(B)}$ es completamente simétrica en $A$ y $B$ (intercambiando todas las ocurrencias del símbolo $A$ con $B$ y viceversa) deja las mismas fórmulas, por lo que también es equivalente con $\P(A \mid B) > \P(A)$ . Eso da el resultado. Por lo que la intuición le pide es que $\eta(A,B)$ es simétrica en $A$ y $B$ .

La respuesta de @gunes dio un ejemplo práctico, y es fácil hacer que otros sean de la misma manera.

— kjetil b halvorsen
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Si A hace que B sea más probable, esto significa que los eventos están de alguna manera relacionados. Esta relación funciona en ambos sentidos.

Si A hace que B sea más probable, esto significa que A y B tienden a suceder juntos. Esto significa que B también hace que A sea más probable.

— Dasherman
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1

¿Esto quizás podría usar alguna expansión? Sin una definición de relacionado, está un poco vacío.

— mdewey

2

Intentaba mantenerme alejado de cualquier cosa rigurosa, ya que OP pidió una explicación intuitiva. Tienes razón en que está bastante vacío como lo está ahora, pero no estoy seguro de cómo expandirlo de una manera intuitiva. He agregado un intento.

— Dasherman el

2

Si A hace que B sea más probable, A tiene información crucial que B puede inferir sobre sí mismo. A pesar de que podría no aportar la misma cantidad, esa información no se pierde al revés. Eventualmente, tenemos dos eventos que su ocurrencia se apoyan mutuamente. Parece que no puedo imaginar un escenario donde la ocurrencia de A aumenta la probabilidad de B, y la ocurrencia de B disminuye la probabilidad de A. Por ejemplo, si llueve, el piso estará mojado con alta probabilidad, y si el piso está mojado, no significa que llovió, pero no disminuye las posibilidades.

— gunes
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2

Puede hacer que las matemáticas sean más intuitivas imaginando una tabla de contingencia.

$\begin{array}{cc} \begin{array}{cc|cc} && A & \lnot A & \\ &a+b+c+d & a+c & b+d \\\hline B& a+b& a & b \\ \lnot B & c+d& c & d \\ \end{array} \end{array}$

$A$ $B$
$\begin{array}{cc} \begin{array}{cccc} A & \neg A \\ 1 & x & 1 - x \\ B & y & a = x y & b = (1 - x) y \\ \neg B & 1 - y & c = x (1 - y) & d = (1 - x) (1 - y) \end{array} \end{array}$ $\begin{array}{cc} \begin{array}{cc|cc} && A & \lnot A & \\ &1 & x & 1-x \\\hline B& y& a=xy & b=(1-x)y \\ \lnot B & 1-y& c=x (1-y) & d=(1-x)(1-y)\\ \end{array} \end{array}$ $P (A) = P (A|B)$ $P (B)=P (B|A)$
$a,b,c,d$ $\pm z$
$\begin{array}{cc} \begin{array}{cccc} UNA & \neg UNA \\ 1 & X & 1 - X \\ si & y & una + z & si - z \\ \neg si & 1 - y & C - z & re + z \end{array} \end{array}$ $\begin{array}{cc} \begin{array}{cc|cc} && A & \lnot A & \\ &1 & x & 1-x \\\hline B& y& a+z & b-z \\ \lnot B & 1-y& c-z & d+z\\ \end{array} \end{array}$

$z$

$P(A|B) \neq P(A)$ $P(B|A) \neq P(B)$ $>$ $z$ $<$ $z$

$P(A|B) > P(A)$ $P(B|A) > P(B)$ $P(B,A) > P (A) P (B)$

Si A y B a menudo suceden juntos (la probabilidad conjunta es mayor que el producto de las probabilidades marginales), entonces observar uno hará que la probabilidad (condicional) del otro sea mayor.

— Sexto empírico
fuente

2

Supongamos que denotamos la razón de probabilidad posterior a anterior de un evento como:

Δ (UNA El | si) \equiv \frac{PAG (UNA El | si)}{PAG (UNA)}

$\Delta(A|B) \equiv \frac{\mathbb{P}(A|B)}{\mathbb{P}(A)}$

Entonces, una expresión alternativa del teorema de Bayes (ver esta publicación relacionada ) es:

Δ (UNA El | si) = \frac{PAG (UNA El | si)}{PAG (UNA)} = \frac{PAG (UNA \cap si)}{PAG (UNA) PAG (si)} = \frac{PAG (si El | UNA)}{PAG (si)} = Δ (si El | UNA) .

$\Delta(A|B) = \frac{\mathbb{P}(A|B)}{\mathbb{P}(A)} = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(A) \mathbb{P}(B)} = \frac{\mathbb{P}(B|A)}{\mathbb{P}(B)} = \Delta(B|A).$

$^\dagger$ $B$ $A$ $A$ $B$

$^\dagger$ $A$ $B$ $\text{do}$

— Ben - Restablece a Monica
fuente

1

Le dicen que Sam es una mujer y Kim es un hombre, y uno de los dos usa maquillaje y el otro no. ¿Quién de ellos crees que usa maquillaje?

Le dicen que Sam usa maquillaje y Kim no, y uno de los dos es un hombre y uno es una mujer. ¿Quién adivinarías que es la mujer?

— Hagen von Eitzen
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No es tan sencillo conectar esto con el problema original. ¿Qué es exactamente el evento A y qué es el evento B? Aquí parece más una comparación de probabilidades. El evento A es 'x es una mujer' (no A es el evento 'x es un hombre'). Y el evento B es 'x usa maquillaje'. Pero ahora de repente tenemos un Sam y un Kim, ¿de dónde viene eso y deberíamos usar algo de información sobre la masculinidad subjetiva o la feminidad de sus nombres?

— Sextus Empiricus

1

Parece que hay cierta confusión entre causalidad y correlación. De hecho, el enunciado de la pregunta es falso para la causalidad, como puede verse en un ejemplo como:

Si un perro lleva una bufanda, entonces es un animal domesticado.

Lo siguiente no es cierto:

Ver a un animal domesticado con una bufanda implica que es un perro.
Ver a un perro domesticado implica que lleva una bufanda.

Sin embargo, si está pensando en probabilidades (correlación), entonces ES cierto:

Los perros que usan bufandas tienen muchas más probabilidades de ser un animal domesticado que los perros que no usan bufandas (o animales en general).

Lo siguiente es cierto:

Un animal domesticado que lleva una bufanda es más probable que sea un perro que otro animal.
Es más probable que un perro domesticado use una bufanda que un perro no domesticado.

Si esto no es intuitivo, piense en un grupo de animales, incluyendo hormigas, perros y gatos. Los perros y los gatos pueden ser domesticados y usar bufandas, las hormigas tampoco.

Si aumenta la probabilidad de animales domesticados en su piscina, también significará que aumentará la posibilidad de ver a un animal con una bufanda.
Si aumenta la probabilidad de gatos o perros, también aumentará la probabilidad de ver a un animal con una bufanda.

Ser domesticado es el vínculo "secreto" entre el animal y usar una bufanda, y ese vínculo "secreto" ejercerá su influencia en ambos sentidos.

Editar: dando un ejemplo a su pregunta en los comentarios:

Imagina un mundo donde los animales son gatos o perros. Pueden ser domesticados o no. Pueden usar una bufanda o no. Imagine que existen 100 animales en total, 50 perros y 50 gatos.

Ahora considere que la declaración A es: "Los perros que usan bufandas tienen tres veces más probabilidades de ser un animal domesticado que los perros que no usan bufandas ".

Si A no es cierto, entonces puedes imaginar que el mundo podría estar hecho de 50 perros, 25 de ellos domesticados (de los cuales 10 usan bufandas), 25 de ellos salvajes (de los cuales 10 usan bufandas). Las mismas estadísticas para los gatos.

Entonces, si viste un animal domesticado en este mundo, tendría un 50% de posibilidades de ser un perro (25/50, 25 perros de 50 animales domesticados) y un 40% de posibilidades de tener una bufanda (20/50, 10 perros y 10 gatos de 50 animales domesticados).

Sin embargo, si A es cierto, entonces tienes un mundo donde hay 50 Perros, 25 de ellos domesticados (de los cuales 15 usan bufandas ), 25 de ellos salvajes (de los cuales 5 usan bufandas ). Los gatos mantienen las estadísticas antiguas: 50 gatos, 25 de ellos domesticados (de los cuales 10 usan bufandas), 25 de ellos salvajes (de los cuales 10 usan bufandas).

Entonces, si vieras un animal domesticado en este mundo, tendría la misma probabilidad del 50% de ser un perro (25/50, 25 perros de 50 animales domesticados) pero tendría un 50% (25/50, 15 perros y 10 gatos de 50 animales domesticados).

Como puede ver, si dice que A es cierto, entonces si vio un animal domesticado con una bufanda en el mundo, sería más probable que sea un perro (60% o 15/25) que cualquier otro animal (en este caso Gato, 40% o 25/10).

— H4uZ
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Esta es la línea con la que tengo un problema: "Un animal domesticado que lleva una bufanda tiene más probabilidades de ser un perro que otro animal". Cuando hicimos nuestra declaración inicial, no hicimos ningún reclamo sobre los otros animales que podrían usar bufandas. Podría haber cientos. Solo hicimos una declaración sobre los perros.

— Rahul Deora

Vea si mi edición ayuda con su problema particular.

— H4uZ

0

Aquí hay una confusión entre causalidad y correlación. Así que te daré un ejemplo donde sucede exactamente lo contrario.

Algunas personas son ricas, algunas son pobres. Algunas personas pobres reciben beneficios, lo que los hace menos pobres. Pero las personas que obtienen beneficios son aún más propensas a ser pobres, incluso con beneficios.

Si recibe beneficios, eso hace que sea más probable que pueda pagar entradas para el cine. ("Lo hace más probable" significa causalidad). Pero si puede pagar entradas para el cine, eso hace que sea menos probable que esté entre las personas que son lo suficientemente pobres como para obtener beneficios, por lo que si puede pagar entradas para el cine, es menos probable que obtenga beneficios.

— gnasher729
fuente

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Esta no es una respuesta a la pregunta. Interesante, pero no una respuesta. De hecho, se trata de un escenario diferente; La razón por la que sucede lo contrario es que está usando dos métricas diferentes que se nombran de manera similar (pobre sin beneficios versus pobre con beneficios) y, como tal, es un escenario completamente diferente.

— wizzwizz4

0

La intuición se vuelve clara si nos fijamos en la declaración más fuerte:

Si A implica B, entonces B hace que A sea más probable.

Implication:
  A true  -> B true
  A false -> B true or false
Reverse implication:
  B true  -> A true or false
  B false -> A false

Obviamente, es más probable que A sea verdadero si se sabe que B también es cierto, porque si B fuera falso, entonces también lo sería A. La misma lógica se aplica a la declaración más débil:

Si A hace que B sea más probable, entonces B hace que A sea más probable.

Weak implication:
  A true  -> B true or (unlikely) false
  A false -> B true or false
Reverse weak implication:
  B true  -> A true or false
  B false -> A false or (unlikely) true

— Rainer P.
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Creo que lo que está diciendo en la primera declaración es que en un diagrama de Venn si A está contenido en B, entonces si B es verdadero n (A) / n (B) debe ser mayor que n (A) / n (S) como B es un espacio más pequeño que S. Incluso en el segundo, ¿dices lo mismo?

— Rahul Deora

@RahulDeora - Sí, así es como funciona. La versión débil es mucho menos obvia, pero de todos modos ya hiciste los cálculos. Lo que solicitó es la intuición detrás del resultado, que se puede observar mejor en la declaración más fuerte.

— Rainer P.

Un pequeño problema con el uso de esta declaración para obtener más intuición es que no es del todo cierto. 'A implica B' no es una condición suficiente para 'cuando B entonces A es más probable'. La distinción importante es que con 'A implica B' no es necesario que B sea más probable. Los ejemplos más importantes son cuando B siempre es cierto.

— Sextus Empiricus

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$P(successful|Alice)>P(successful)$ $P(Alice|successful)>P(Alice)$

O supongamos que hay una escuela que tiene el 10% de los estudiantes en su distrito escolar, pero el 15% de los estudiantes de categoría A. Entonces, claramente el porcentaje de estudiantes en esa escuela que son estudiantes de clase A es más alto que el porcentaje de todo el distrito.

$P(A\&B)>P(A)P(B)$ $A$ $B$

— Acumulacion
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