¿Función logística con pendiente pero sin asíntotas?

La función logística tiene un rango de salida de 0 a 1, y la pendiente asintótica es cero en ambos lados.

¿Cuál es una alternativa a una función logística que no se aplana completamente en sus extremos? ¿De quién son las pendientes asintóticas que se acercan a cero pero no a cero, y el rango es infinito?

sigmoid-curve

— Aksakal
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El título parece estar en desacuerdo con la forma en que leo su pregunta: ¿se requiere esta nueva función para tener asíntotas o no?

— jld

Básicamente quiero una función que parezca sigmoidea pero que tenga una pendiente

— Aksakal

Correcto, una forma sigmoidea que no se aplana por completo, por ejemplo, la función de registro no se aplana completamente

— Aksakal

sign (x) \log (1 + | x |)

$\operatorname{sign}(x)\log(1 + |x|)$ ?

— steveo'america

A principios de la década llamada, quiere recuperar sus funciones de activación de la red neuronal. (Mala broma Lo sentimos, pero en realidad es por eso que la gente se trasladó a relus) (1, sin embargo, la pregunta relevante)

— usεr11852

Respuestas:

Simplemente podría agregar un término a una función logística :

F (X; una, si, C, re, mi) = \frac{una}{1 + si Exp (- C X)} + re X + mi

$f(x; a, b, c, d, e)=\frac{a}{1+b\exp(-cx)} + dx + e$

Las asíntotas tendrán pendientes . $d$

Aquí hay un ejemplo con : $a=10, b = 1, c = 2, d = \frac{1}{20}, e = -5$

— COOLSerdash
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Creo que esta respuesta es la mejor porque si te alejas lo suficiente, es solo una línea recta con un pequeño meneo en el medio. Da el comportamiento más intuitivo en x grande pero conserva la forma sigmoidea.

— usuario1717828

esto parecía funcionar para mi conjunto de datos, y la recogió, pero la solución no es ideal ya que la pendiente asintótica no disminuye

— Aksakal

Al principio yo estaba pensando que lo hizo querer las asíntotas horizontales a todavía; Moví mi respuesta original hasta el final. Si en su lugar desea , ¿funcionaría algo así como el seno hiperbólico inverso? $0$ $\lim_{x\to\pm \infty} f(x) = \pm\infty$

asinh (x) = \log (x + \sqrt{1 + x^{2}})

$\text{asinh}(x) = \log\left(x + \sqrt{1 + x^2}\right)$

Esto no tiene límites, pero crece como para grandesy parece $\log$ $|x|$

Me gusta mucho esta función como transformación de datos cuando tengo colas pesadas pero posiblemente ceros o valores negativos.

Otra cosa buena de esta función es que por lo que tiene una derivada simple y agradable. $\text{asinh}'(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

Respuesta original

$\newcommand{\e}{\varepsilon}$ Sea nuestra función y asumiremos $f : \mathbb R\to\mathbb R$

lim_{x \to \pm \infty} f (x) = 0.

$\lim_{x\to\pm \infty} f(x) = 0.$

Supongamos que es continua. Arreglo . De las asíntotas tenemos análogamente hay una tal que . Por lo tanto, fuera de está dentro de . Y es un intervalo compacto, por lo que la continuidad está limitada a él. $f$ $\e > 0$

\exists x_{1} : x < x_{1} ⟹ | f (x) | < ε

$\exists x_1 : x < x_1 \implies |f(x)| < \e$

x_{2}

$x_2$

x > x_{2} ⟹ | f (x) | < ε

$x > x_2 \implies |f(x)| < \e$

[x_{1}, x_{2}]

$[x_1,x_2]$

f

$f$

(- ε, ε)

$(-\e, \e)$

[x_{1}, x_{2}]

$[x_1,x_2]$

f

$f$

Esto significa que cualquier función de este tipo no puede ser continua. ¿Funcionaría algo como ?

f (x) = {\begin{cases} x^{- 1} & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 0 \end{cases}

$f(x) = \begin{cases} x^{-1} & x\neq 0 \\ 0 & x = 0\end{cases}$

— jld
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Los hilos "relacionados" incluyen esta pregunta sin respuesta, en caso de que alguien más se haya preguntado a sí mismo el seguimiento natural "¿qué sucede si usa asinh en una red neuronal?" stats.stackexchange.com/questions/359245/…

— Sycorax dice Reinstate Monica

Mis oídos realmente se erizaron. En el pasado he encontrado útil asinh () cuando quieres 'hacer cosas de registro' tanto con números positivos como negativos. También evita la cantera en la que puede ingresar, donde necesita hacer una transformación de registro en los datos con ceros y debe juzgar un valor apropiado de para

a

$a$

l o g (x + a)

$log(x + a)$

— Ingolifs

¿Cómo podría parametrizar esta función para cambiar su forma? en particular, para regular la pendiente en el punto de inflexión

— Aksakal

@Aksakal si , simplemente haciendo mantendría la forma y los asintóticos iguales y la derivada es por lo que la pendiente es cero es sólo

a > 0

$a > 0$

a \cdot asinh

$a\cdot\text{asinh}$

\frac{a}{\sqrt{1 + x^{2}}}

$\frac{a}{\sqrt{1+x^2}}$

a

$a$

— JLD

@Aksakal más generalmente podríamos considerar la antiderivada de que es y permite más capacidad para cambiar la forma, o simplemente algo así como

\frac{a}{\sqrt{c^{2} + (b x)^{2}}}

$\frac{a}{\sqrt{c^2 + (bx)^2}}$

\frac{a}{b} \log (b (b x + \sqrt{c^{2} + (b x)^{2}}))

$\frac ab \log\left(b\left(bx + \sqrt{c^2 + (bx)^2}\right)\right)$

a \cdot asinh (b x)

$a\cdot\text{asinh}(bx)$

— jld

Seguiré adelante y convertiré el comentario en una respuesta. Sugiero que tiene una pendiente que tiende hacia cero, pero no tiene límites.

F (X) = firmar (X) Iniciar sesión (1 + El | X El |),

$f(x) = \operatorname{sign}(x)\log{\left(1 + |x|\right)},$

editar por demanda popular, un diagrama, para : $|x|\le 30$

— steveo'america
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